~~求三元輪換對稱方程組解法~~

令k^2+k=1 的解為s、t，先配s，可得

x-s=(s+y)(s-y)、y-s=(s+z)(s-z)、z-s=(s+x)(s-x)

三式相乘得(x-s)(y-s)(z-s)=0或(s+x)(s+y)(s+z)=-1，

(x-s)(y-s)(z-s)=0帶回得到x=y=z=s。

類似的，一開始配 t，可得x=y=z=t或(t+x)(t+y)(t+z)=-1。

假設(a,b,c)是異於(s,s,s)與(t,t,t)的解，那麼由前面分析知a、b、c必定滿足

(1) (s+a)(s+b)(s+c)=-1

(2) (t+a)(t+b)(t+c)=-1


1.

(1)×(2)並利用s+t=-1、st=-1 => (a^2-a-1)(b^2-b-1)(c^2-c-1)=1

題目式子代入=> (a+b)(b+c)(c+a)=-1

2.

(1) = s^3 +(a+b+c)s^2 + (ab+bc+ac)s +abc = -1

(2) = t^3 +(a+b+c)t^2 + (ab+bc+ac)t + abc = -1

(1)-(2)消去(s-t) => (s^2+st+t^2 ) + (a+b+c)(s+t) + (ab+bc+ac) = 0

=> 2+(ab+bc+ac) = a+b+c ，又由題目知a+b+c = 3-(a^2+b^2+c^2)

=>a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac=1 => (a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2 = 2

3.

令d = |a+b|、e = |b+c|、f = |a+c|；又倘若u是實數，那麼u^2 = |u|^2

因此如果a、b、c都是實數，我們有 def=1、d^2+e^2+f^2=2

但由算幾不等式，(def)^(2/3) ≤ (d^2+e^2+f^2)/3 => 1≤ (2/3) ，矛盾!

故a、b、c必不同為實數，意即除了(s,s,s)、(t,t,t)外沒有實數解。

因此實數解為 x=y=x=(-1±√5)/2