F.4 MATHS 續多項式

1. 己知當 x^2 + ax - ( a + 2 ) 除以 x + a 時，所得的餘數是 a 。求 a 的值。

答:可以先設f(x)=x^2 +ax -(a+2)
然後 f(-a) =(-a)^2 + a(-a) -(a+2) =a
a=-1


2. 已知當 -px^2 + 2x + 5 除以 x - 2 和 2x + 1 時，會得到相同的餘數。求 p 的值。

答:設f(x)=-px^2 +2x +5
因為f(x)除(x-2)和(2x+1)有相同餘式
所以,f(2)=f(-1/2)

-p(2)^2 +2(2) +5 =-p(-1/2)^2 +2(-1/2) +5
p=4/3

3. 當 4x^2 - 2x + 1 除以 2x + k 時，所得的餘數是 3k。

答:設f(x) =4x^2 -2x +1
當x=-k/2 時,餘式是3k
所以,f(-k/2) =4(-k/2)^2 -2(-k/2) +1 =3k
k=1

4. 已知當 ax^2 + bx - 7 除以 x - 3 時，所得的餘數是 14；當 2x^2 + ax + b 除以 x + 3 時，所得的餘數是 1 。求 a 和 b 的值。

答:設f(x) =ax^2 +bx -7,設g(x)=2x^2 +ax +b
f(3)=14,g(-3)=1
得出以下兩條方程
3a+b-7=0----(1)
b=3a-17-----(2)

代換後便可得出 a=4,b=-5

1. 代 x = -a,
a^2 - a^2 - (a + 2) = a
2a = -2
a = -1

2. 代 x = 2,
餘數 = -4p + 4 + 5 = -4p + 9
代 x = -1/2,
餘數 = -p/4 - 1 + 5 = -p/4 + 4
所以 -p/4 + 4 = -4p + 9
p = 4/3

3. 代 x = -k/2,
4(-k/2)^2 + k + 1 = 3k
k^2 - 2k + 1 = 0
k = 1

4. 代 x = 3 入 ax^2 + bx - 7,
9a + 3b - 7 = 14------------(1)
代 x = -3 入 2x^2 + ax + b,
-3a + b + 18 = 1------------(2)
解(1),(2), b = -5, a = 4