數學問題解三次方~

這是關乎到 rational root theorem 的應用:

對一多項方程式而言:

anxn + an-1xn-1 + ... + a0 = 0

若它有有理數之根, 則其根值必為 p/q, 其中 p 和 q 為互質整數, 且 p 必為 a0 的其中一個因子及 q 必為 an 的其中一個因子.

其證明為:

假設 p/q 為根, 當中 p 和 q 為互質整數:

an(p/q)n + an-1(p/q)n-1 + ... + a0 = 0

-a0qn = p(anpn-1 + an-1pn-2q + ... + a1qn-1)

由於 p 和 q 為互質, qn 不能被 p 整除, 所以 a0 必能被 p 整除.

相同地:

-anpn = q(a1qn-1 + a2qn-2p + ... + an-1pn-1)

由於 p 和 q 為互質, pn 不能被 q 整除, 所以 an 必能被 q 整除.

所以, 對 30x3 + 31x2 - 25x - 6 = 0 而言, 可嘗試

30 因子 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

6 因子 = 1, 2, 3, 6

可試代入的 x 值:

±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2, ±1/3, ±2/3, ±1/5, ±2/5, ±3/5, ±6/5, ±1/10, ±3/10, ±1/15, ±2/15, ±1/30

試驗後, 得出當 x = 2/3, -3/2 和 -1/5 時, 方程式皆成立

所以 3x - 2, 2x + 3 和 5x + 1 皆為因式.

反之, 假如上述所有有理數之試驗值皆不能使方程式成立, 則可肯定該方程式沒有有理根, 其無理之根需以根方程代之:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function

以此題為例, 則代入 a = 30, b = 31, c = -25 和 d = 6

六呎將軍和藍閃蝶的解答應可以解決你的問題
我也不再多加補充了

像十字相乘法，用試誤法。

若 px+q 是 ax^3+bx^2+cx+d 的因式（全為整係數），則 p 整除 a 及q 整除 d 。

30x^3+31x^2-25x-6 的因式可能是 x+1, x-1, 3x-2, 15x+1 等等；
可試得 2x+3, 5x+1, 3x-2 為因式。

I'm sorry that I can't help you.It's so difficult.