高中多項式觀念澄清

若多項式f (x)除以多項式g(x)，所得之商式為Q(x)、餘式為R(x)。
考慮以下敘述句：
[f (x) + 1] 除以 g(x) 所得之商式為 Q(x)、餘式為 [R(x) +1]。

以上敘述句，大多數情況下為真。
例如：
(x³ + 3x² + 5x + 2) 除以 (x² + 2x + 1)，所得商式為 (x + 1)，餘式為 (2x + 1)。
而 [(x³ + 3x² + 5x + 2) + 1] 除以 (x² + 2x + 1)，所得商式為 (x + 1)，餘式為 (2x + 2)。

但當 R(x) = -1 時，則敘述句為假。實際是：
[f (x) + 1] 能被 g(x) 整除，商式為Q(x)。
例如：
(x³ + 3x² + 3x) 除以 (x² + 2x + 1)，所得商式為 (x + 1)，餘式為 -1。
而 [(x³ + 3x² + 3x) + 1] 可被 (x² + 2x + 1) 整除，所得商式為 (x + 1)。

當g(x)為常數時, f(x)除以g(x), 餘數必為0
f(x)+1 除以 g(x), 餘數也是0, 不是0+1

f(x) = 2, g(x) = 3, q(x) = 0, r(x) = 2

注意：多項式包含"常數"。