一個數學小難題

f(1)=1+a+b f(2)=4+2a+b f(3)=9+3a+b

所以[f(3)+f(1)]/2 - f(2) = (10+4a+2b)/2 - (4+2a+b)=1......(使a和b抵銷,再做數字的討論)

因兩項相減等於1, 而 a-b.<=IaI+IbI, 所以, 如果兩項絕對值都小於1/2的話,兩項相減不可能會等於1 (1/2+1/2)

可知 I [f(3)+f(1)]/2 I 及If(2)I 中必有一項大於等於1/2 所以
若lf(2)I 小於2/1 則 I[f(3)+f(1)]/2I必大於1/2 所以
If(3)+f(1)I必大於1 ,同理, If(3)I及If(1)I此時必至少有一項大於1/2

得証

反設 |f(1)| , |f(2)| , |f(3)| 中沒有一個≧1/2 ,則 -1/2 < f(n) < 1/2 , (n = 1 , 2 , 3)故-1/2 < 1 + a + b < 1/2
及
-1/2 < 4 + 2a + b < 1/2
及
-1/2 < 9 + 3a + b < 1/2===>- 3/2 < a + b < - 1/2.........(1)
及
- 9/2 < 2a + b < - 7/2........(2)
及
- 19/2 < 3a + b < - 17/2........(3)(2) - (1) :- 9/2 - (- 1/2) < a < - 7/2 - (- 3/2)- 4 < a < - 2 ...........A及(3) - (2) :- 19/2 - ( - 7/2) < a < - 17/2 - (- 9/2)- 6 < a < - 4...........B由A , - 4 < a 由B , a < - 4茅盾!故反設不成立。｜f(1),｜f(2)｜,｜f(3)｜之一必有一個≧1/2。