數學問題集(55)---數學雜題(二)

1) √(a+x) = √[a + 2ab/(b²+1)] = √[(ab²+a + 2ab) / (b²+1)] = √[a(b+1)² / (b²+1)] = (b+1)√a / √(b²+1)類似地,√(a-x)= |-b+1| √a / √(b²+1)原式 [ √(a+x) + √(a-x) ] / [ √(a+x) - √(a-x) ]= (b+1)√a / √(b²+1) + |-b+1| √a / √(b²+1)
--------------------------------------------------------
(b+1)√a / √(b²+1) - |-b+1| √a / √(b²+1)= (b+1) + |-b+1|
--------------------
(b+1) - |-b+1| 當 b > 1 ,
(-b+1) < 0 , 原式 =(b+1) - (-b+1)
-------------------- = b
(b+1) + (-b+1)
當 0 < b < 1 , (-b+1) > 0 , 原式 =(b+1) + (-b+1)
-------------------- = 1/b
(b+1) - (-b+1)
當 b = 1 , 原式 = 1
2) n + 14 ∣ n³ + 2009 n + 14 | (n + 14)(n² - 14n + 196) - 735故 n + 14 | 735當 n + 14 = 735 , 滿足條件的最大的正整數 n =_721_.
3)因 √502.25 + √502.25 = √2009 , 且 0 故 x ≤ 502√x + √y = √2009y = (√2009 - √x)²y = 2009 + x - 2√(2009x)y = 2009 + x - 2√[(7²)(41)x]故 x = 41k² , k 為正整數。41k² ≤ 502k ≤ 3.499...k = 1 , 2 , 3滿足要求的整數對(x, y)有_3_組。
4) 把△APB繞A點順時針旋轉60°,則B和C重合,P的新位置是P",易見△APP"是正△,得PP" = AP = AP" = 5在△CPP" 中,三邊分別長 5 , 12 , 13 ,因 5² + 12² = 13² , 由勾股逆定理得 ㄥCP"P = 90°,從而 ㄥAP"C = ㄥAP"P + ㄥCP"P = 60° + 90° = 150° ,在△AP"C中,由餘弦定理 :AC² = 5² + 12² - 2(5)(12)cos150°AC² = 169 - 120cos(90+60)°AC² = 169 - 120 (- √3 / 2)AC² = 169 + 60√3得△ABC面積= (1/2)(AC²)sin60°= (1/2)(169 + 60√3)(√3 /2)= (1/4)(180 + 169√3)


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA04628698/o/701010100173413873376740.jpg