W+X+Y+Z=10

10 - Y = W + X + Z >= 3 + 1 + 5 = 9 即 10 - Y >= 9
得
1 >= Y結合Y >= - 2
得
- 2 =< Y =< 1設 W = 3+w , X = 1+x , Z = 5+z ,其中w , x , z 為非負整數。當 Y = - 2 ,W + X + Z = 123+w + 1+x + 5+z = 12w + x + z = 3(003) (030) (300)
(012) (021) (102) (120) (201) (210)
(111)
共10組解。當 Y = - 1 , W + X + Z = 113+w + 1+x + 5+z = 11w + x + z = 2(02) (20)
(11)
共3組解。當 Y = 0 , W + X + Z = 103+w + 1+x + 5+z = 10w + x + z = 1(001) (010) (100)
共3組解。當 Y = 1 , W + X + Z = 93+w + 1+x + 5+z = 9w + x + z = 0(000) 1組解。綜上方程共 10 + 3 + 3 + 1 = 17 組整數解。

2010-09-30 19:50:28 補充：
修正 :

當 Y = - 1 , W + X + Z = 11
3+w + 1+x + 5+z = 11
w + x + z = 2
(002) (020) (200)
(011) (101) (110)
共6組解。

綜上方程共 10 + 6 + 3 + 1 = 20 組整數解。