微積分裡的幕法則是怎麼導出的?

As follows:


圖片參考：http://i707.photobucket.com/albums/ww74/stevieg90/15-18.jpg


2010-09-25 00:38:11 補充：
其實我也只是猜想數學家發現這定理時是為了尋求x^n這函數的導數...
linch兄...我的解答的確有不足之處...你不介意的話可以補上你的回答!

n 是正整數時冪法則的證明如STEVIE-G™ 所寫
n 是負整數時冪法則利用除法公式
n 是有理數時則需要用到隱函數微分
n 是任意實數時需要用到指數與對數的性質來證明

2010-09-25 01:20:51 補充：
請參考

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509070611308

回答及意見欄

2010-09-25 01:29:57 補充：
原發問者的問題是怎麼被發現的

我想就如同兩位回答者所寫的
這裡的 n 是正整數(為了討論多項式)
到了後來發現 x^n 當 n 不是正整數時冪法則也是成立的
當然後續的證明是經過很多人長時間思考得來的

就如同人類是先接受正整數、有理數、零
然後才接受了無理數
最後才有負數的觀念一樣
是一步一步來的

這位大大您好

您所說的就是微分的證明過程吧
微分證明如下
不過 此證明僅針對 f(x) = x^n 有用
若是三角函數,對數等特殊函數
另有其特殊推導過程與方法

pf: ((建議看得時候先謄抄到紙上會比較方便

令 f(x) = x^n (( x 的 n 次方 ))
則 f(x+h) = (x+h)^n 亦成立
則 f(x) 於 x 時的斜率即為
lim f(x+h) - f(x) / h
h→0
= lim [ (x+h)^n - x^n ] / h
h→0
= lim [ x^n + n * x^(n-1) h + n(n+1) / n * x^(n-2) h^2 + .....+ h^n - x^n ] / h
h→0 以下不重要 省略
= lim [ n * x^(n-1) h + n(n+1) / n * x^(n-2) h^2 + .....+ h^n ] / h
h→0
= lim [ n * x^(n-1) + ( n(n+1) / n ) * x^(n-2) h + .....+ h^(n-1) ]
h→0
= n * x^(n-1)

以上就是對 f(x) = x^n 一次微分較簡單的證明過程

若仍有問題 歡迎來信指教

2010-09-25 00:34:39 補充：
瑀 大 如果有問題
建議寫信問樓上那位大大 因為
你所謂得怎麼被發現
其實是一段思考流程
為積分發明者當初在思索方法時
只針對面積部分
因為面積不是用實際實驗就可以容易求得的
就算有辦法 誤差還是很大
所以哲學家們 (以前數學家與物理學家同為哲學家
想用數學方式求面積
要想到為想分割這點沒問題
大多數人都做得到
但是 所有人都會面臨到的問題是
就算分割得再小
斜的部分終究是斜的
所以有人想到從斜率的求取開始著手
於是一連串的數學算式就出現了
最後的結果也就是現在所稱得微分

而微分的詳細問題如linch大所說
是循序漸進 而且方法與過程都不盡相同

2010-09-25 00:48:16 補充：
他在補後面的就全有了 哈哈

2010-09-25 01:46:54 補充：
謝謝 linch 大
我也學到了不少呢!