Maths(4) - estimate a surd

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA06399860/o/701009050032513873369870.jpg

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2010-09-05 13:27:34 補充：
2^2<7<3^2
2<√7<3
〖2.6〗^2<7<〖3.7〗^2
2.6<√7<3.7
〖2.64〗^2<7<〖2.65〗^2
2.64<√7<2.65
〖2.645〗^2<7<〖2.646〗^2
2.645<√7<2.646
〖2.6457〗^2<7<〖2.6458〗^2
2.6457<√7<2.6458
〖2.64575〗^2<7<〖2.64576〗^2
2.64575<√7<2.64576

2010-09-05 13:27:38 補充：
〖2.645751〗^2<7<〖2.645752〗^2
2.645751<√7<2.645752
〖2.6457513〗^2<7<〖2.6457514〗^2
2.6457513<√7<2.6457514
〖2.64575131〗^2<7<〖2.64575132〗^2
2.64575131<√7<2.64575132

快,不過不太準確:

Let f(x)=Sqrt(x)
f'(x)=1/[ 2Sqrt(x) ]

Using linear approx., f(x+h) ~ f(x) + f'(x) h
f(7)=f(4+3) ~ f(4) + 3*f'(4) = 2 + 3/4 = 2.75

2010-09-10 18:51:49 補充：
心算來說算是最準的了

Bisection method

4 < 7 < 9
2 < √7 < 3
[(2+3)/2]^2 = 2.5^2 = 6.25 < 7
2.5 < √7 < 3
[(2.5+3)/2]^2 = = 2.75^2 = 7.5625 > 7
2.5 < √7 < 2.75
...

2010-09-05 13:52:23 補充：
更快捷的方法：

增乘開平方法
http://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E5%A2%9E%E4%B9%98%E5%BC%80%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%B3%95

Let f(x)=x^2-7
f'(x)=2x
By Newton's method, x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
Choose x_1=3
Then x_2=2.666666667
x_3=2.645833333
x_4=2.645751312
x_5=2.645751311...