空間曲面與空間曲線(2)

(1)
將z表示成f(x, y)，z=f(x, y)=8-x^(2/3)-y^(2/3)
先算積分範圍Ω，即建物對地投影
令z=0，則Ω={(x, y) | x^(2/3)+y^(2/3)=8}
所求面積可表示為∫(Ω) √[1+fx(x, y)^2+fy(x, y)^2]
其中fx(x, y)=-(2/3)x^(-1/3)，fy(x, y)=-(2/3)y^(-1/3)
1+fx(x, y)^2+fy(x, y)^2
=1+(4/9)x^(-2/3)+(4/9)y^(-2/3)
則∫(Ω) √[1+fx(x, y)^2+fy(x, y)^2]
=∫(-2^(9/2)~2^(9/2))∫(-2^(9/2)~2^(9/2)) √[1+(4/9)x^(-2/3)+(4/9)y^(-2/3)] dxdy
為了讓題目好算，利用u=x^(2/3)和v=y^(2/3)變數變換
以上積分可改為
=∫(0~8)∫(0~8) √[1+(4/9u)+(4/9v)] J(u, v)dudv
其中J(u, v)為一行列式：
|dx/du dx/dv|=|(3/2)u^(1/2) 0|=(9/4)√(uv)
|dy/du dy/dv| |0 (3/2)v^(1/2)|
√[1+(4/9u)+(4/9v)] J(u, v)=(3/4)√(9uv+4u+4v)
∫(0~8)∫(0~8) (3/4)√(9uv+4u+4v) dudv
=(3/4)∫(0~8)∫(0~8) √[u(9v+4)+4v] dudv
=(3/4)∫(0~8) (2/3)[u(9v+4)+4v]^(3/2)/(9v+4) | 0~8 dv
=(1/2)∫(0~8) [8(9v+4)+4v]^(3/2)/(9v+4)-(4v)^(3/2)/(9v+4) dv
把裡面積分拆開處理
∫(0~8) [8(9v+4)+4v]^(3/2)/(9v+4) dv
=∫(0~8) (76v+32)^(3/)/(9v+4) dv
令t=9v+4，76v+32=(76/9)t-(16/9)，dv=dt/9代換
∫(4~76) [(76/9)t-(16/9)]^(3/2)/t (dt/9)
=(1/9)∫(4~76) (76/9)[(76/9)t-(16/9)]^(1/2)-(16/9t)[76/9)t-(16/9)]^(1/2) dt
前半部結果(2/3)[(76/9)t-(16/9)]^(3/2)
後半部結果(16/27){2√(76t-16)-8tan^-1(√[(19/4)t-1])}
因此積分結果：
(2/27)[(76/9)t-(16/9)]^(3/2)-(16/243){2√(76t-16)-8tan^-1(√[(19/4)t-1])} | 4~76
=[(30464/81)√10+(128/243)tan^-1(6√10)]-[(640/81)√2+(128/243)tan^-1(3√2)]
(4v)^(3/2)/(9v+4)部分的積分經過計算結果為：
(256/3)√2-(32/27)tan^-1(3√2)
最後結果，建物面積為：
(1/2)({[(30464/81)√10+(128/243)tan^-1(6√10)]-[(640/81)√2+(128/243)tan^-1(3√2)]}-[(256/3)√2-(32/27)tan^-1(3√2)])
={[(15232/81)√10+(64/243)tan^-1(6√10)]-[(320/81)√2+(64/243)tan^-1(3√2)]}-[(128/3)√2-(16/27)tan^-1(3√2)])
(2)
在最短路徑上，x和y座標必然一樣，令x=y=t^(3/2)
則z=8-x^(2/3)-y^(2/3)=8-2t
所求路徑Γ(t)=(t^(3/2), t^(3/2), 8-2t)
其中t範圍從0到4 (自屋頂算下來)
先令f(t)=g(t)=t^(3/2)，h(t)=8-2t
路徑長∫(0~4) √[f'(t)^2+g'(t)^2+h'(t)^2] dt
=∫(0~4) √[(9/2)t+4] dt
=(4/27)[(9/2)t+4]^(3/2) | 0~4
=(4/27)(80√10-8)
計算錯誤請見諒，希望對您有幫助!


2010-09-13 21:45:23 補充：
先修正(2)計算錯誤，(4/27)(22√22-8)

2010-09-16 18:16:54 補充：
Sorry~最近都沒一段長時間能來打補充

關於(1)的修正在下會撥時間寫在意見中

2010-09-19 11:38:16 補充：
(1)的修正

x^(2/3)+y^(2/3)=8在xy平面上對稱兩座標軸

因此可以只算第一象限再乘以4

在此x, y皆大於0，所以轉換成u, v較沒問題

x從0到2^(9/2)，因此u從0到8，y轉為v情形相同

計算過程太龐大就不再補上

要是這樣修正還錯，就請哪位路過的數學強者寫一下正解吧

在下虛心接受

表面積二重積分上下限不對
弧長計算錯誤!