國中數學~求三角形面積、邊長 10點

7.
設 BP 與CS 相交於 T。
由 T 作 TM⊥BC，TM 與BC 相交於 M。
TM 為 ΔTAB 的高，設 TM = h cm
設 CR = p cm 及 RM = q cm
則 CM = (p + q) cm
及 BQ = BC - QR - CR = (60 - 20 - p) cm = (40 - p) cm
則 BM = BC - CM = (60 - p - q) cm

PQ⊥BC 及 TM⊥BC，所以 PQ // TM
ΔBPQ ~ ΔBTM
BQ/PQ = BM/TM
(40 - p)/20 = (60 - p - q)/h …… (1)

SR⊥BC 及 TM⊥BC，所以 SR // TM
ΔCSR ~ ΔCTM
CR/SR = CM/TM
(p)/20 = (p + q)/h …… (2)

(1) + (2):
40/20 = 60/h
h = 30 cm

ΔTBC在長方形ABCD內，
故此 AB 的最小長度 = TM = 30 cm


=====
2.
設 DE = y cm 及 AF = n cm

因為 BA // DE，所以ΔDEF ~ΔABF
DE/DF = AB/AF
y/(10 - n) = 8/n
yn = 80 - 8n
yn + 8n = 80
n = 80/(y + 8) …… (1)

ΔDEF面積 - ΔABF面積 = 20 cm²
(1/2)*DE*DF - (1/2)*AB*AF = 20 cm
(1/2)y(10 - n) - (1/2)8n = 20
10y - yn - 8n = 40
10y - n(y + 8) = 40 …… (2)

把 (1) 代入 (2) 中：
10y - [80/(y + 8)](y + 8) = 40
10y - 80 = 40
10y = 120
y = 12
因此 ED = 12 cm


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9.
設 ΔADE 及 ΔABC 的面積分別為 a 及 A。

BP : PC = 1 : 2
設 BP = 2k，則 PC = 4k
及 BC = 2k + 4k = 6k

D、E 分別為 AB、AC 中點
因此DE : BC = 1 : 2
DE = (1/2)BC = (1/2)6k = 3k

D、E 分別為 AB、AC 中點
因此，DE // BC
ΔADE ~ ΔABC
ΔADE面積 : ΔABC面積 = DE² : BC²
a : A = 1² : 2² = 1 : 4
a = A/4
四邊形 DECB 面積 = A - (A/4) = 3A/4

因為DE // BC
ΔDBP、ΔPDE、ΔEPC的高相同，其面積與底長度成正比。
ΔDBP面積 : ΔPDE面積 : ΔEPC面積 = BP : DE : PC = 2k : 3k : 4k = 2 : 3 : 4
ΔPDE面積佔四邊形面積的 3/(2 + 3 + 4) = 1/3
所以 ΔPDE面積 = (3A/4) x (1/3) = A/4
ΔPDE 面積 : ΔABC 面積 = (A/4) : A = 1 : 4

2010-09-01 13:01:30 補充：
題號應為 7、8、9。

哇！好厲害的解法
非常感謝

(7)
設 BP 與CS 相交於 T，紙片寬 x

ΔTPS 相似於 ΔTBC
相似三角形 高的比等於底的比

(x-20)/x=20/60
x=30

要再欽楚一點 不然看不懂