1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/6......

如果不用數學歸納法，你可以這樣做：
設1^2+2^2+3^2+...+n^2 = an^3 + bn^2 + cn + d
當n=1時，
1^2=a+b+c+d-----------------------------------(1)
當n=2時，
1^2+2^2=8a+4b+2c+d-----------------------(2)
當n=3時，
1^2+2^2+3^2=27a+9b+3c+d---------------(3)
當n=4時，
1^2+2^2+3^2+4^2=64a+16b+4c+d-------(4)
解方程組(1), (2), (3), (4)，得：


2010-08-29 09:41:56 補充：
a=1/3
b=1/2
c=1/6
d=0

2010-08-29 09:44:24 補充：
所以1^2+2^2+3^2+...+n^2
= an^3 + bn^2 + cn + d
=(1/3)n^3 + (1/2)n^2 + (1/6)n + 0
=(1/6)n(2n^2+3n+1)
=1/6n(n+1)(2n+1)

2010-08-29 17:23:23 補充：
首先我們看看這個：
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
是一個二次式，因為拆出來是(n^2+n)/2，然後我們推測
1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2的公式會是一個三次式，
題外話，同樣地
1^3 + 2^3 + 3^3 + ...... + n^3的公式會是一個四次式，如此類推。
以上的做法我用了待定係數法來求，如果出來的是一次式，就是這樣：
an+b，當中a和b不是未知數，而是"等待求出來的數"
如果是二次式，就是這樣：
an^2 + bn + c，當然你可以用其他字母來代替a, b, c，純綷是習慣。

2010-08-29 17:26:42 補充：
如果是三次式，就是這樣：
an^3 + bn^2 + cn + d，不知閣下的程度去到那裏，能否理解以下的話：
a是n^3的系數，b是n^2的系數，c是n的系數，d是常數項。
當然，1^2+2^2+3^2+...+n^2可表示為一個二次式這話只是推測，如果不放心做出來的效果，可以這樣設：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=an^7 + bn^6 + cn^5 + dn^4 + en^3 + fn^2 + gn + h，把n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7分別代入其中，最後解方程組，其實都是一樣，你會得到：

2010-08-29 17:31:53 補充：
a=0
b=0
c=0
d=0
e=1/3
f=1/2
g=1/6
h=0
你現在會否明白些？
以上做法雖然非正式，因為設多少次時是猜出來的，但也是一個對初學者來說很好的做法。
用以上做法，你還可以得到1^x + 2^x + 3^x + ...... + n^x的公式，即任意次方和的公式，當然求1^3 + 2^3 + 3^3 + ...... + n^3時要解五元一次方程組，解1^4 + 2^4 + 3^4 + ...... + n^4時就要解六元一次方程組了。

1^2 = 1
2^2 = 1 + 3
3^2 = 1 + 3 + 5
...
n^2 = 1 + 3 + 5 + ... + 2n-1

Σk^2
= 1xn + 3x(n-1) + 5x(n-2) + ... + 2n-1
= Σ(2k-1)(n-k+1)
= Σ(2kn - 2k^2 + 2k - n + k - 1)

3Σk^2
= (2n + 3)Σk - (n + 1)Σ1
= (2n + 3)n(n + 1)/2 - n(n + 1)
= n(n + 1)(2n + 1)/2

Σk^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6

可考慮如下:

圖片參考：http://i388.photobucket.com/albums/oo325/loyitak1990/Aug10/Crazysum1.jpg


如不見此圖, 請見:

http://i388.photobucket.com/albums/oo325/loyitak1990/Aug10/Crazysum1.jpg