～羅素～這個聰明的人是怎樣證明＜１＋１＝２＞的？

證明: 1+1=2





1先瞭解peano 公設：所謂自然數,就是滿足下列條件,





a.一集合N 中,有元素n,及後繼元素n+,n+與n 對應.





b.元素e 必定屬於N 中.





c.元素e 在N 中不為任一元素的後繼元素.





d.N 中的元素,a+=b+則a=b.(元素唯一)





e.(歸納公設)S 為N 的子集,e 屬於S,n 屬於S,n+也屬於S.那麼S=N.





N 就是我們說的自然數集合.





其中我們規定e:=1, e+:=2, (e+)+:=3,.....以此類推.





2. 再來定義加法,





加法(+)為一函數,這函數滿足兩個條件





1.(+)(n,e)=n+ 寫成大家熟悉的式子1.n(+)e=n+





2.(+)(n,m+)=((+)(n,m))+ 2.n(+)m+=(n(+)m)+





滿足上面條件的函數(+),我們稱為加法+.(+):=+





滿足這兩條件的函數是可以證明存在且唯一：證明如下





因為(+)(e,e)=e+





e(+)e=e+





所以1+1=2 得證.





存在：





e, e+ ,(e+)+,…… 即所有自然數





唯一：





n N " Î ，





+(n,e)=n+





+(n,e+)=(+(n,e))+





+(n,e+)+)=………





故(+)存在且唯一





上述證明翻成白話文如下：





自然數系依加法運算分別是：1，1+，(1+)+，……。而這些1+，（1+）+，…就用符號2，3，…





表示，所以1 + 1指的是1後面那一個數字，也就是1+，自然就是2。

如何定義出首位正整數?那下一個正整數如何定義?那再下一個正整數呢?...依此類推吧

2010-08-31 13:37:45 補充：
理所當然的事,就不必想太多了啦,
(江湖一點訣,點破無價值<--用台語唸,順口溜.)

2010-08-31 15:11:26 補充：
羅素<-- 他--有證明出來嗎?
(不過就是把正整數的排列作個定義,然後從排列定義自圓其說而已?).

2010-08-31 21:46:53 補充：
首位正整數,或自然數-->1,要先有定義..才能繼續往下推演..
(1沒有先定義出來,請問1到底是甚麼?可惜羅素已經作古了.網友們沒法跟他一起討論...^^)

假如今天是 1+1=8 ，
你也會問為什麼 1+1=8

這種問題毫無意義，不可能去推翻它的。
這應該是沒有證明，很單純的只有結果。

"這個在數學上我們把它當成公設使用"

這句我十分認同..

證明1+1=2根本就是無聊之作

這個在數學上我們把它當成公設使用

1+1=2如同樓上說的是鐵一般的事實，就算想辦法證明，也只是拿其他的公設來為此做文章，顯得既複雜且沒有什麼實質意義

這只牽涉到簡單的計數原理(以下引用某個大師的說法，在此先跟大師致歉
，因為我實在忘了是哪一位)
在遠古時代，某人每天打獵為生，他使用結繩來記數，每獵到一條鹿就打一個結做記號

某天，這人打了一頭鹿回來，他在想:今天有一條鹿可以當晚餐了，於是在繩上
打了一個結
隔天，他多打了一頭鹿回來，這人想:今天有一條鹿和一條鹿可以當晚餐了，於是在繩子上打了兩個結
再過一天，他又多打了一頭鹿回來，他想:今天有一條鹿和一條鹿和一條鹿可以當晚餐了，.......
這人想了想:這樣子說明感覺好累又好蠢，而且萬一數量多了，這豈不是
昏頭轉向，而失去了他自己記數的意義
過了幾天的思考，他忽然得到靈感
他把"一條鹿和一條鹿"這個數量叫做"兩條鹿"
"一條鹿和一條鹿和一條鹿"叫做"三條鹿"
並且把兩條鹿的繩結打的大一點以做分別，他開心的想著:"這樣就解決了問題"

這其實就是1+1=2的最基本來源
如果當初這個人把"一條鹿和一條鹿"這個數量叫做"三條鹿"
那現在就變成"1+1=3"了，而這是完全沒有問題的

2010-08-30 00:42:58 補充：
這跟當初數學的發展有一定程度的關係

數學追求對一個東西有一個清楚且明瞭的解釋，但我們所能利用的公設卻是有限的

什麼意思?
例如1+1=2，如果我試圖證明他(意即不把他當成公設)，可以從一個比較直觀的推論著手，假設1+1不等於2，那下一步呢?1+1>2或1+1<2，很明顯吧?

這裡要打個大問號，為什麼給定兩數a，b他們的大小關係就一定是a=b或a>b或a


2010-08-30 00:48:01 補充：
如果試圖走這一條路來證明，那勢必要先證明三一律，那如果要證明三一律
是否又要找個更簡單的公設來說明?那這個更簡單的公設是否也有問題?是不是又要找其他的東西來解釋?

可是當我們不斷的追求證明，我們發覺到最後的結果也只是"拿其他的公設來說明另一個公設"，如果已經牽涉到這個等級的話，那這個證明一定顯得冗長而沒有多大的實質意義，而且會將原本簡單的問題"複雜化"，而這是很沒有營養的

2010-08-30 00:53:59 補充：
不過會出現1+1=2的證明也是可以理解的，當數學的發展越來越抽象化而嚴謹化的時候，數學家會很理所當然得去對一些我們所認為的"常識"作懷疑(這十分自然)

1+1=2是鐡一般的事實。在二進制中,1+1=10,但這不是說1加1等於十的意思,只是逢2進1,二進制中2的概念就以「10」來表示。
哲學家羅素曾為證明1+1=2之類的問題而大費周張,內容全是一大堆邏輯學專用符號用語,對外行人來說根本就像無字天書

小抱怨
這題證完絕對不只22點

220都不太夠