如何證明一個數能否被7整除的判定方法

技巧很簡單，只用 1001 = 7*11*13 即可，請看看下面。

比個中文版你︰

設一六位數 ABCDEF.
所以，
ABCDEF = 100000A + 10000B + 1000C + 100D + 10E + F
= (100100A - 100A) + (10010B - 10B) + (1001C - C) + 100D + 10E + F
= (100100A + 10010B + 1001C) + (100D + 10E + F) - (100A + 10B + C)
= 7*(14300A + 1430B + 143C) + (100D + 10E + F) - (100A + 10B + C)

以上式子第一括號為 7 的倍數，故判斷該六位數 ABCDEF 能否被 7 除盡，須看 (100D + 10E + F) - (100A + 10B + C)，
即 前後兩個三位數之差 DEF - ABC 能否除盡 7 。


但此方法又是否適用於單數位的數字？方法雷同。
另設一七位數 ABCDEFG.
ABCDEFG = 1000000A + 100000B + 10000C + 1000D + 100E + 10F + G
= (1001000A - 1000A) + (100100B - 100B) + (10010C - 10C) + (1001D - D) + 100E + 10F + G
= (1001000A + 100100B + 10010C + 1001D) + (100E + 10F + G) - (1000A + 100B + 10C + D)
= 7*(143000A + 14300B + 1430C + 143D) + (100E + 10F + G) - (1000A + 100B + 10C + D)

同理，判斷該六位數 ABCDEFG 能否被 7 除盡的方法，須看前邊四位數和後邊三位數之差 EFG - ABCD 能否除盡 7 。


總結，判斷數字能否被 7 整除的方法為︰
後邊3個數字 與前邊數字之差能否被 7 整除。

希望幫到你！

2010-08-25 20:00:34 補充：
更正︰
但此方法又是否適用於單數位的數字？方法雷同。

應為
但此方法又是否適用於單數個數位的數字？方法雷同。

2010-08-25 20:12:57 補充：
樓主提供的例子可見，
ABCDEFG =1000000A+100000B+10000C+1000D+100E+10F+G
=(999999A+A) +(100100B -100B) +(10010C-10C)+(1001D-D)+100E+10F+G
=(999999A+100100B+10010C+1001D)+(100E+10F+G)-(100B+10C+D)+A
=7*(142857A+14300B+1430C+143D)+ (100E+10F+G)- (100B+10C+D)+A

所以另一判斷方法，是EFG - BCD + A 能否除盡 7,

而通解為樓上summation的解法。

The proof as follow:
圖片參考：http://i187.photobucket.com/albums/x22/cshung/7010082400454.png

這方法可由「同餘」證明。

1000 ≡ -1 (mod 7)
1000^(2k) ≡ 1 (mod 7)
1000^(2k + 1) ≡ -1 (mod 7)

「還有，在此重新聲明，任何非真正回答者不能在回答欄作答，只可以在意見中發表，包括目前的001和002。亦再強調一次，此法是絕對正確的。」

有答案為何還要問?

也可以知道足下完全不知尊重為何物

這證明應與 中國餘式定理 有關。
例如 9=1(mod 4)，即表示9被4整除時，餘數為1。


不過，亦有較簡單的"證明"。
考慮k=1000a+b，當中a,b為非負整數。
由於k=7(143a)+b-a，
若果 b-a 能被7整除，則k能被7整除。

上述並不是完整證明，因一正整數可有乘千上萬的位，運用中國餘式定理才可以得到一個普及的證明。

不能證明此法，因為是錯的，我計過是4241468/7=60209.7142852...