pigeonhole principle 急!!!20點!!

考慮 7^n , 對 n 取 1001 個不同之正整數值 a1 , a2 , a3 , ... , a1001得 1001 個數 7^a1 , 7^a2 , 7^a3 , ... , 7^a1001 由於任何數除以 1000 的餘數只有一千個 : 0 , 1 , 2 , ... , 999因此在1001 個數 7^a1 , 7^a2 , 7^a3 , ... , 7^a1001 中,必有兩數除以 1000 的餘數相同 , 設兩數是 7^m > 7^n , 則
7^m - 7^n = [7^(m-n)] * (7^n - 1) 可被 1000 整除而 7^(m-n) 與 1000 互質 ,故 7^n - 1 可被 1000 整除存在正整數 K 使得 :7^n - 1 = 1000K 7^n = 1000k + 1 為滿足要求的數

2010-08-19 22:44:37 補充：
第一行的 n 改為 k

2010-08-19 22:50:08 補充：
第一行的 n 改為 A

2010-08-19 22:53:28 補充：
修改 :

7^m - 7^n
= [7^n] * (7^(m-n) - 1) 可被 1000 整除
而 7^n 與 1000 互質 ,
故 7^(m-n) - 1 可被 1000 整除
存在正整數 K 使得 :
7^(m-n) - 1 = 1000K
7^(m-n) = 1000K + 1 為滿足要求的數

2010-08-19 22:54:47 補充：
修改 :
第一行的 n 改為 A ,

第七行 :

7^m - 7^n
= [7^n] * (7^(m-n) - 1) 可被 1000 整除
而 7^n 與 1000 互質 ,
故 7^(m-n) - 1 可被 1000 整除
存在正整數 K 使得 :
7^(m-n) - 1 = 1000K
7^(m-n) = 1000K + 1 為滿足要求的數

2010-08-19 23:56:39 補充：
002 JT :

你怎保證存在 x , 滿足

x143 = 7^(n - 1) ?

7^1 = 7
7^2 = 49
7^3 = 343
7^4 = 2401
7^5 = 16807
...

By looking at the last two digits, there is a recurring pattern like this:

07, 49, 43, 01, 07, 49, 43, 01, 07 ...

Let's say 43 * 7 = 301, to find a number ending with '001', we should look for:

xy43 * 7 = z001, where x, y, z is a single digit.

This further implies:

xy * 100 * 7 + 3 * 100 = z * 1000
=> (xy * 7 + 3) mod 10 = 0
=> y must be 1, and x can be any digit.

Therefore xy43 * 7 = z001 is true for some values, which means

there are some values of 7^n ending with '001.