微積分(向量)

1.
題目給了3個向量做成的參數式
只須重新假設未知數即能檢驗直線是否相交
(因為未知數假設一樣會找不出有相交時的情況)

L1 : (t,-3+2t,-1+t)
L2 : (1,q,2+2q)
L3 : (s,-4+3s,-3+3s)

然後分三組"直線的組合"(L1 L2 L3 三直線兩兩配對)
令兩直線的兩參數式"相等"解三個聯立方程式
兩直線若能使參數式上兩個未知數有解(能滿足三個聯立式的要求者)
表示有相交的狀況(若有"無限多組"的情況 代表兩直線重合)
若無解表示兩直線為一組歪斜線

此題的L2 L3即有相交 但L1不與其他兩條直線相交
故三直線不共面

另 因為三直線的參數式未知數的係數皆不成相同比例 故皆不互相平行

故答案選1.

2.
(A)找公垂向量
將兩向量外積後調整係數數值(見下面步驟)即可
(1,2,-1)X(2,-1,1)=(1,-3,-5)
接著把i j k三個方向的數值調整至滿足3數值平方和=1
故所求為(1/根號35, -3/根號35, -5根號35)
(B)求平行六面體體積
先求uv兩向量做成的平行四邊形面積=l u X v l =根號35...(1)
又w為uv的公垂向量故可做為平行六面體的高=l u X v l =根號35...(2)
由條件(1) (2)
知所求平行六面體體積=35