不等式1題

題目應還有一前提，即a、b、c都是正實數。

(1)

若 t>0，則 2t^3 + 1 ≥ 3t^2

proof：由算幾不等式，(t^3+t^3+1)/3 ≥ t^2 ，得證，等號成立t=1

現令t=(abc)^(1/6)帶入，得到2(abc)^(1/2)+1 ≥ 3(abc)^(1/3)

(2)

令hint中x=(bc/a)^(1/3)、y=(ac/b)^(1/3)、z=(ab/c)^(1/3)，可得

(bc/a)+(ac/b)+(ab/c)+3(abc)^(1/3) ≥

[(b/c)^(1/3)+(c/b)^(1/3)]a +[(c/a)^(1/3)+(a/c)^(1/3)]b +[(b/a)^(1/3)+(a/b)^(1/3)]c

≥ 2a+2b+2c ，等號成立a=b=c

[ 算幾不等式：(b/c)^(1/3)+(c/b)^(1/3)≥2 ]

(3)

由(1)、(2)，

(bc/a)+(ac/b)+(ab/c)+2(abc)^(1/2)+1 ≥ (bc/a)+(ac/b)+(ab/c)+3(abc)^(1/3)

≥ 2(a+b+c)，等號成立a=b=c=1



註：順便證明一下hint

因為hint中是對稱式，不妨令x≥y≥z

那麼(x^3+y^3+z^3+3xyz) - (yx^2+zx^2+zy^2+xy^2+xz^2+yz^2)

= (x^3+xyz-yx^2-zx^2)+(y^3+xyz-zy^2-xy^2)+(z^3+xyz-xz^2-yz^2)

= x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)

= (x-y) [ x^2-xz-y^2+yz] + z(x-z)(y-z)

= (x-y)(x-y)(x+y-z) + z(x-z)(y-z) ≥ 0

bc/a+ac/b+ab/c+2(abc)^1/2+1大於等於2(a+b+c)
bc/a+ac/b+ab/c+(abc)^1/2+1大於等於(a+b+c)
bc/a*3+(abc)^1/2+1大於等於(a+b+c)
abc+1大於等於a+b+c