三角形挑戰題...大學教授也半懂

(a)
送分的，正是Heron's formula（可能半懂就只是懂得這條）

(b)
提示：http://mathworld.wolfram.com/Altitude.html

(c)
提示：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%A7%92%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%B7%9A%E9%95%B7%E5%85%AC%E5%BC%8F

(d)
http://mathworld.wolfram.com/TriangleMedian.html

2010-08-08 04:28:12 補充：
(e)則最麻煩，因為我一直都找不到任何關於三角形垂直平分線長的定理，但弔詭的是，若給定邊長或角度等基本資料，垂直平分線長並不難求。

Menelaus' theorem是唯一一條包含垂直平分線長的定理，但是我不知道把Menelaus' theorem調整至垂直平分線長的版本會有甚麼效果。

kwanhims***，為甚麼你會懷疑給定3條垂直平分線長會存在超過1個不同的三角形？

不過，就算超過1個不同的三角形也不是太大關係，因為若僅存在有限個不同的三角形，這仍會有轉機的，就好像SSA，最多只存在兩個不同的三角形，其面積仍是可以用返SSA來表示。

2010-08-08 04:50:32 補充：
根據http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle#Other_area_formulas，有人找到過百條不同的三角形面積公式，但最遺憾的是http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle#cite_note-15只留下書名。

2010-08-08 05:01:19 補充：
說起指定底邊的垂直平分線長，其餘兩條斜邊之間的長度比較絕對會影響該條垂直平分線相交在哪一條斜邊，這會否是很難找到任何關於三角形垂直平分線長的定理的最主要原因？

2010-08-09 16:02:52 補充：
我在http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle#Formulas_mimicking_Heron.27s_formula發現一條很奇怪的三角形面積公式，甚麼是inverse altitude（逆高線？？？）？

2010-08-12 16:04:42 補充：
其實理論上每題都是可以做到的，因為事實上所有三角形面積公式都是由最基本的那三條三角形面積公式（1/2 bh、SAS三角形面積公式、SSS三角形面積公式）變化出來的，問題是我們需不需要用上最後的辦法：解非線性聯立方程。

經本人反覆研究，似乎(c)和(e)真是要用上最後的辦法：解非線性聯立方程。

2010-08-12 16:36:34 補充：
(c)
首先根據http://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E8%A7%92%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%E9%95%BF%E5%85%AC%E5%BC%8F，然後如何解這條非線性聯立方程？
(t_a)² = bc(b² + 2bc + c² - a²)/(b + c)²
(t_b)² = ca(c² + 2ca + a² - b²)/(c + a)²
(t_c)² = ab(a² + 2ab + b² - c²)/(a + b)²

2010-08-14 07:44:58 補充：

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/triangle/crazytrianglearea29.jpg

參考資料：
formula from http://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E8%A7%92%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%E9%95%BF%E5%85%AC%E5%BC%8F + http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle#Further_formulas_for_general_Euclidean_triangles + http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle#Formulas_mimicking_Heron.27s_formula + http://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2#.E5.8D.8A.E8.A7.92.E5.AE.9A.E7.90.86 + my wisdom of maths

Re 013︰
of course you can, but the final expression of area should be in terms of lengths of 3 垂直平分線.

I know (a) (b) (d) now , but if I write , it is too long .

about (e) , can we use 3 垂直平分線 get other imformation ? maybe some length ?

(a) Heron's formula

找到了..
所引用的定理需證明嗎?

2010-08-07 18:36:26 補充：
我的意思是: 求到了

2010-08-07 18:43:44 補充：
引用的定理阿!?

回答會過長的.....

2010-08-07 20:25:15 補充：
目前求到(a)及(d)
我有點懷疑是否給定(b),(c),(e)可畫出唯一的三角形

2010-08-08 00:13:51 補充：
(c) 我是用Apollonious' Theorem+Menelau's Theorem+Heron

2010-08-08 14:24:38 補充：
懷疑只是懷疑

正如歐拉發現七座橋問題沒有解一樣 - 猜想...只不過我的猜想很有機會會錯

2010-08-10 23:06:47 補充：
我想inverse altitudes的意思就是inverse of altitudes = 1/?

如altitude是5, inverse ~ = 1/5


因為它說
h_? 代表從 ? 得出的高
(for ?=a,b,c)

2010-08-14 11:25:49 補充：
doreamonpaul: 死圖阿!

Can you translate them into Chinese? If you do that, I may answer 3 or 4.