Fourier Series 2

f(x)每一段斜率均為1, 而g(x)每一段斜率均為 -1,
因此將f(x)改為 f(-x), 再下移π單位即可
故 g(x)=f(-x) -π
註: g(x)與 f(-x)-π 兩函數只在不連續點(x=2nπ)有差異,但Foruier series收斂
至[g(x+)+g(x-)]/2, 故g(x)與 f(-x)-π 的Fourier series相同

(i) g(x)的Fourier series為 -2Σ[n=1~∞] sin(-nx)/n= 2Σ[n=1~∞] sin(nx)/n
(ii) 令x=π/2 (註: g(x)在x=π/2處連續)
故g(π/2)=2Σ[n=1~∞] sin(nπ/2)/n
π/2=2[1/1- 1/3+1/5-1/7+...] = - 2Σ[n=1~∞] (-1)^n/(2n-1)
故 -π/4 =Σ[n=1~∞] (-1)^n/(2n-1)

2010-08-07 01:19:33 補充：
Answer part (b) only, using (a) ???

2010-08-07 22:30:36 補充：
Q1: f(x)=
{ x, 0 <= x < π
{ 2π-x, π <= x < 2π
只定義於0~2π, 故不是even fn.
若加上條件 f(x+2π)=f(x): 週期2π,則為even fn.
判別方法:作圖, 對稱於y軸, 故為even fn.