絕對值不等式的問題

其實
如果要利用代數的方法驗證這個答案也可以

可行的方法如下:

方法1. 分段討論(此法也可配合作圖)
此法適用於解題時 題目有要求計算過程的情況下
對│x+2│而言
當 x大於等於-2 時 │x+2│=x+2
當 x小於等於-2 時 │x+2│= -x-2
同理 對│x-3│而言
當 x大於等於3時 │x-3│=x-3
當 x小於等於3時 │x-3│= -x+3
由上面討論知
│x+2│+│x-3│可能的折點(線段曲折的地方)為 x= -2及x=3

當 x大於等於3 時 │x+2│+│x-3│= x+2 + x-3= 2x-1
且由x的範圍知│x+2│+│x-3│=2x-1 大於等於5
當 x介於-2 至3之間時 │x+2│+│x-3│= x+2 + 3-x = 5
當 x小於等於-2 時│x+2│+│x-3│= -x-2 + (3-x) = 1-2x
同樣地由x的範圍知│x+2│+│x-3│=1-2x 大於等於5

方法2. 感覺(如果感覺得到的話是個好方法)
因為│x+2│恆大於等於零 故最小值=0
當最小值出現時X= -2
當X遠離 -2 時 │x+2│的值會遞增(變大)
同理
因為│x-3│恆大於等於零 故最小值=0
最小值出現時X=3
當X遠離 3 時 │x-3│的值就會遞增(變大)
然而 x在大於3及小於2的地方趨勢是越來越大
(可以帶正無線大或負無限大來嘗試)
故當X介於-2至3之間時
│x+2│+│x-3│= x+2 + 3-x = 5 即是此式子的最小值

最後 希望這兩個方法能幫的上忙

2010-08-08 14:43:40 補充：
更新回覆
Q : 在算│ │+│ │或減時

方法都一樣嗎??

例如說一定在某數跟某數之間.........
A : 方法相同
因為關鍵在於" │ │(絕對值的符號)內東西的正負 "

當│ │內大於0時 去絕對值的東西仍然大於0
所以絕對值符號直接拿掉完瘸沒有影響數字的大小

然而
當│ │內小於0時 則去絕對值後自然需要加上一個負號
才能符合原先絕對值的要求--所有的數字都要大於等於0

上面四位大大的回答都很不錯
您可先參考看看
關於圖解法
令y=|x+2| ----這個圖 是個V字形 最低點是(-2,0)
令y=|x-3| -------這圖也是V字形 最低點是(3,0)
所以在座標軸上 會有5個點
(-2,0),(3,0),(0,2),(0,3),(1/2,5/2)
蠻奇怪的
把5個點的x值 都代入│x+2│+│x-3│
發現都是5

絕對值 |u| 的意思：
當 u < 0, |u| = -u
當 u ≥ 0, |u| = u


情況一：當 x ≤ -2
x + 2 ≤ 0 及 x - 3 < 0
|x + 2| = -(x + 2) 及 |x - 3| = -(x - 3)

|x + 2| + |x - 3|
= -(x + 2) - (x - 3)
= -x - 2 - x + 3
= 1 - 2x
≥ 1 - 2(-2) = 5

在情況一，|x + 2| + |x - 3| 的最小值 = 5


情況二：當 -2 < x < 3
x + 2 > 0 及 x - 3 < 0
|x + 2| = x + 2 及 |x - 3| = -(x - 3)

|x + 2| + |x - 3|
= (x + 2) - (x - 3)
= x + 2 - x + 3
= 5

在情況二，|x + 2| + |x - 3| = 5


情況三：當 x ≥ 3
x + 2 > 0 及 x - 3 ≥ 0
|x + 2| = x + 2 及 |x - 3| = x - 3

|x + 2| + |x - 3|
= (x + 2) + (x - 3)
= x + 2 + x - 3
= 2x - 1
≥ 2(3) + 1 = 5

在情況三，|x + 2| + |x - 3| 的最小值 = 5



綜合情況一、二、三。
答：|x + 2| + |x - 3| 的最小值 = 5

|x+2|+|x-3|你可以先化成
|x-(-2)|+|x-3|比較容易看
因為絕對值內，負號有著從A到B(兩點距離的意思)
_______-2(_____________)3_________
這之中括弧內的任意數，也就是-2<=X<=3中，
任一點到-2與3的距離相加最多為5，
你可以任意帶其中一數進去試試看!!
又如果是>3or<-2的數，絕對會>5
所以答案是5!!
這只是個人淺見~~希望對大大有所幫助~~
P.S.<=為小於等餘

是求│x+2│+│x-3│之最小值為??


假設x=0時
│0+2│+│0-3│
=2+3
=5

假設x=1時
│1+2│+│1-3│
=3+2
=5

假設x=4時
│4+2│+│4-3│
=6+1
=7

假設x= - 3時
│-3+2│+│-3-3│
=1+6
=7

所以答案就是5
圖示法應該就跟上面 假設x=多少,值就會變多少一樣

絕對值得意思是距離，假設有兩點-4、5，距離就是│(-4)-(5)│，
所以這題可以看成│(x)-(-2)│+│(x)-(3)│，x跟-2的距離加上x跟3的距離，
x的最小值會落在-2~3之間，所以x跟-2的距離加上x跟3的距離的最小值就是-2~3的距離=5。


另一個解釋方法，絕對值必>=0，所以要求最小值可另一邊=0，x帶-2或3
得到答案也是5。