數學一題分項對消法怎麼做？？（急）

可以拆成1/2x (1/2x3 - 1/3x4 + 1/3x4 -1/4x5 + 1/4x5 - 1/5x6 ... 1/19x20
- 1/20x21)
兩兩對銷後,就剩下1/2x(1/2x3 - 1/20x21)計算結果應該是23/280

備註:1/2X3就是(二乘以三)分之ㄧ

據教育部95暫綱高一上學期數列與級數


原式 = ∑(k=2~19)[1/k(k+1)(k+2)]
= (1/2)∑(k=2~19){[1/k(k+1)]－[1/(k+1)(k+2)]}………(*)
= (1/2)∑(k=2~19){[1/k－1/(k+1)]－[1/(k+1)－1/(k+2)]}
= (1/2)×{∑(k=2~19) [1/k－1/(k+1)]－∑(k=2~19) [1/(k+1)－1/(k+2)]}
= (1/2)×[(1/2 -1/3 + 1/3 -1/4 +…+ 1/19 - 1/20)－(1/3 - 1/4 + 1/4 -1/5 + …+ 1/20 - 1/21)]
= (1/2)×(1/2 - 1/20 -1/3 + 1/21)
= (1/2)×(69/420)
= 69/840
= 23/280 #

亦可由(*)直接開始列式
即(1/2)∑(k=2~19){[1/k(k+1)]－[1/(k+1)(k+2)]}
= (1/2)×{[1/(2×3)-1/(3×4)]+[1/(3×4)-1/(4×5)]+…+[1/(19×20)-1/(20×21)]}
= (1/2)×[1/(2×3)－1/(20×21)]
= 23/280 #

　　１　　　　　　　１　　　　　　　 １
－－－－－　＋　－－－－－＋．．．＋　－－－－－－－
２ｘ３ｘ４　　　３ｘ４ｘ５　 １９ｘ２０ｘ２１

1 1 1 1
＝---- - --------- - ------------ + --------------
2 3 3 4

1 1 1 1
+ -------- - ----------- - ------------------- + ----------------
3 4 4 5

1 1 1 1
+ ----------- - ------------ - ----------- + -------------------
4 5 5 6

全部還要除於2


最後是
1 1 1 1
[ ---------------- - -------------- - ----------------- + ------------------- ] / 2
2 3 20 21

等於
69
---------------------
840

1/(2x3x4) = 1/2 [ 1/(2x3) - 1/(3x4) ]
1/(3x4x5) = 1/2 [ 1/(3x4) - 1/(4x5) ]
1/(4x5x6) = 1/2 [ 1/(4x5) - 1/(5x6) ]
...
1/(19x20x21) = 1/2 [ 1/(19x20) - 1/(20x21) ]


1/(2x3x4) + 1/(3x4x5) + ... + 1/(19x20x21)
= 1/2 [ 1/(2x3) - 1/(20x21) ]
= 23/280