二題數學請教大大幫忙(代數、微分相關)

[匿名]

2010-07-01 6:51 am

1.設x1,x2,x3,x4,x5為互不相等的正奇數，
滿足(995-x1)(995-x2)(995-x3)(995-x4)(995-x5)=24^2
，試求x1^2+x2^2+x3^2+x4^2+x5^2的個位數字。

我的解法：
因為都是正奇數，所以(995-xi)都是偶數
因為又相異，所以我把24^2拆成2x2x4x6x6
所以假設
995-x1=2，x1=993
995-x2=-2，x2=997 (因為相異，所以假設是-2，會與後面的-6消去負號)
995-x3=4，x3=991
995-x4=6，x4=989
995-x5=-6，x5=101
所以最後算出來的個位數字為1，請問這樣子應該對吧

2.已知a，b，c為相異實數，且f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，若f'(a)f'(b)f'(c)≠0，
求[a^2 / f'(a) ] + [ b^2 / f'(b) ] + [c^2 / f'(c)]之值。

第2題完全沒有想法，請大大幫忙囉

回答 (1)

天助

2010-07-01 7:13 am

✔ 最佳答案

Q1:解得很好啊!(補充 x5=1001)
Q2:
f'(a)=(a-b)(a-c), f'(b)=(b-a)(b-c), f'(c)=(c-a)(c-b)
題目=a^2/[(a-b)(a-c)]+b^2/[(b-a)(b-c)]+c^2/[(c-a)(c-b)]
= -[a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)]/[(a-b)(b-c)(c-a)]
=-[a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-c+c-b)]/[(a-b)(b-c)(c-a)]
=-[ (a^2-c^2)(b-c)+(b^2-c^2)(c-a)]/[(a-b)(b-c)(c-a)]
=[(c-a)(b-c)(c+a-b-c)]/[(a-b)(b-c)(c-a)]
=1

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