數學難題,高手請進

1.
(a)
PQ:
(y - 6)/(x - 1) = (6 + 8)/(1 + 1)
(y - 6)/(x - 1) = 7
7(x - 1) = y - 6
7x - 7 = y - 6
7x - y - 1 = 0

(b)
把 R(3, 8) 代入 PQ 的方程：
左方
= 7(3) - (8) - 1
= 12
≠ 右方
R 不在 PQ 線上。因此，三點不共線。


2.
直線 2x - y + 5 = 0 的斜率 = -2/(-1) = 2
所求直線的斜率 = -1/2

所求直線的方程：
(y - 4)/(x - 3) = -1/2
2(y - 4) = -(x - 3)
2y - 8 = -x + 3
x + 2y - 11 = 0


3.
(a)
-4(2x3)² = 0
x = 0

(b)
2 - 5x² = 13x² - 9X
18x² - 9x - 2 = 0
(6x + 1)(3x - 2) = 0
6x + 1 = 0 或 3x - 2 = 0
x = -1/6 或 x = 2/3

(c)
z² + 3az - bz - 3ab = 0
(z² + 3az) - (bz + 3ab) = 0
z(z + 3a) - b(z + 3a) = 0
(z - b)(z + 3a) = 0
z - b = 0 或 z + 3a = 0
z = b 或 z = -3a


4.
-4x² = 5x + 1
4x² + 5x + 1 = 0
x = {-5 ± √[(5)² - 4(6)(1)]} / 2(4)
x = [-5 ±√(25 - 16)] / 8
x = (-5 ± 3)/8
x = -1/4 或 x = -1


5
圖像： y = 3x² + 2x + 4k …… (1)
X軸：y = 0 …… (2)

(1) = (2):
3x² + 2x + 4k = 0

由於不相交，方程無實根，判別式 Δ < 0
(2)² - 4(3)(4k) < 0
4 - 48k < 0
1 - 12k < 0
12k > 1
k > 1/12


6.
(p+4)x² + 2px + (p-15) = 0

方程有實根，判別式 Δ ≥ 0
(2p)² - 4(p + 4)(p -15) ≥ 0
4p2 - 4(p² - 11p - 60) ≥ 0
p2 - (p² - 11p - 60) ≥ 0
p2 - p² + 11p + 60) ≥ 0
11p ≥ -60
p ≥ -60/11


7.
設該兩數為 a 和 b。

a - b = 2 …… (1)
ab = 99 …… (2)

(1):
a = b + 2 …… (3)

把 (3) 代入 (2):
(b + 2)b = 99
b² + 2b - 99 = 0
(b + 11)(b - 9) = 0
b + 11 = 0 或 b - 9 = 0
b = -11 或 b = 9 (捨棄)

把 b = -11 代入 (3):
a = (-11) + 2
a = -9

讓兩數為 -9 和 -11。