微積分這部份算學的不錯，但還是有碰到一些不太了解的部份...
所以想請求各位大大的解答:D
希望給我的回答是有學過微積分，仔細閱讀過回答的答案
而不是去搜尋隨便找一堆資料貼上來給我，麻煩盡量口語化，謝謝^^"
這是之前某次小考的一個題目
我想請問，如果說今天是這樣的一個積分∫ (x^2-1)^2 dx 的積分
如果把方程式展開積分，答案會是1/5x^4-2/3x^3+x + c，實際上答案也是這個
可是如果利用代換積分法來做，會變成是(x^2-1)^3/6x + c
把這個方程式展開來，很明顯的會和上面的方程式的解不同
可是如果把(x^2-1)^3/6x + c 利用微分檢驗，不該是會等於(x^2-1)^2嗎?
根據微分公式， h ' ( x ) = n [ f (x) ]^(n-1) x f ' ( x )
也就是(x^2-1)^3/6x的微分應該是會等於
(x^2-1)^2/6x x 3 x [d/dx](x^2-1) =(x^2-1)^2，不是嗎@@?
如果不是的話，請問哪個部份有誤呢？
希望能把積分和微分遇到這種題型為什麼不能這麼做？
代換積分法和展開來積分的差距告訴我''
還有難道遇到這種題目要求它的積分，一定要把它展開來才能做嗎？
假如說今天的題目次方數很大，或是碰到不是整數的次方數該怎麼辦？
比如碰到的題目是(x^2-1)^18或是(x^2-1)^(-3/4)，不適用代換積分法，那就只能放棄了嗎？
問題有點多，請見諒>"< 希望能夠幫幫我！我真的很想弄懂，謝謝！
更新1:
回天助： 原來是這樣...分子跟分母都必須要微分才行@@!! 可是我不是很清楚的是...如果說今天像是(x-1)^3/3 的微分不該是(x-1)^2嗎? 那為什麼它的分母3不用列入考慮微分呢@@?是因為3的微分會是1嗎? 而當分母出現了不是常數的數字時，就不能用微分的公式來推斷囉?是這樣子嗎? 簡單的說，把分母都化簡成負指數的形式再利用微分的公式 h ' ( x ) = f ' ( x ) x g ( x ) + f ( x ) x g ' ( x ) 進行運算就可以了@@!?
更新2:
回無聊a人： 我是讀高職的學校，因應課程的安排...所以才會比較早學到微積分這個部份 不是被補習班強迫推銷啦!! 回doraemonpaul： 我那個18次方只是假設了@@!!簡單的說如果積分的指數過大，必定會有乘上一個X的N次方給我們消掉，以方便計算對吧~而負指數的積分這個部份似乎是我們目前所學到的東西，所無法解的...可能是大學以後才會上到的東西吧!! 謝謝你這麼耐心的回答，你給我的答案很有用^^"