台北市教師甄試數學試題詳解3

假設三角形面積為△ 三邊長為a,b,c
△=(1/2)*6*a=(1/2)*4*b=(1/2)*3*c
a=△/3, b=△/2, c=2△/3, s=(a+b+c)=3△/4
由海龍公式
△=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]
=√[(3△/4)(△/4)(5△/12)(△/12)]
=√15/48*△^2
-->△=48√15/15=16√15/5=12.39....

2010-06-23 22:44:47 補充：
s=(a+b+c)/2=3△/4

設 6、4、3 分別為 三邊 a , b , c 上的高 ,

則

6a = 4b = 3c

a : b = 2 : 3

b : c = 3 : 4

故 a : b : c = 2 : 3 : 4

設 a = 2k , b = 3k , c = 4k ,

由勾股定理 :

√(a^2 - 3^2) + √(b^2 - 3^2) = c

√(4k^2 - 9) + √(9k^2 - 9) = 4k

(4k^2 - 9) + (9k^2 - 9) + 2√[(4k^2 - 9)(9k^2 - 9)] = 16k^2

2√[(4k^2 - 9)(9k^2 - 9)] = 3k^2 + 18

2010-06-23 19:33:31 補充：
設 k^2 = p ,

4(4p - 9)(9p - 9) = (3p + 18)^2

36(4p - 9)(p - 1) = 9(p + 6)^2

4(4p - 9)(p - 1) = p^2 + 12p + 36

4(4p^2 - 13p + 9) = p^2 + 12p + 36

16p^2 - 52p + 36 = p^2 + 12p + 36

16p - 52 = p + 12

p = k^2 = 64/15

k = 8√15 /15

△ABC

= (1/2)6a

= (1/2)6(2k)

= 6k

= 6 * 8√15 /15

= 12.39...

(D)

用海龍(Heron)公式比較快