一階微分方程式 急

題目:Find the solution of the initial value problem: (1+x^2)(1+y^2)=xy y', y(1)=0
中文:求解初值問題 (1+x^2)(1+y^2)= xy y', y(1)=0

(1+x^2)(1+y^2)=xy*(dy/dx) is a separable eq.
y/(1+y^2) *dy/dx= x/(1+x^2)
then
∫ 2y/(1+y^2) dy= ∫2x/(1+x^2) dx
ln(1+y^2)=ln(1+x^2)+c
then
1+y^2=C(1+x^2) (Note: C=e^c)
y(1)=0 means "when x=1, then y=0", so that
1+0=C(1+1), thus C=1/2
Hence, 1+y^2= (1/2)(1+x^2), or y^2=(x^2-1)/2

2010-06-26 02:52:13 補充：
Wow!是我移錯了,更正如下:
∫ 2y/(1+y^2) dy= 2 ∫(1+x^2)/x dx
ln(1+y^2)= 2ln|x|+ x^2+c
1+y^2=C x^2 exp(x^2)
x=1, y=0, then 1=Ce, C=1/e
thus 1+y^2= x^2 exp(x^2 -1)

2010-06-26 02:55:13 補充：
implicit function 解也可以,不一定要改為 explicit function
有些case,無法改出來的

發現解答Th初值问题：(1+x^2) (1+y^2)=xyy' y (1)=0