f(x)=ln(1+x)在a點的泰勒展開式，試求其收斂半徑

2010-06-21 7:27 am

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Q:
試求f(x)=ln(1+x)在a點的泰勒展開式，試求其收斂半徑

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更新1:

To 天助 =1/[(x-a)+(1+a)] =1/(1+a)* 1/(t+1) ,where t=(x-a)/(1+a) 可否解釋為何1,2行要這樣拆嗎?謝謝

更新2:

To heaven help 1/(x+a)=(1/a)/[1+(x/a)] <---------------- 這邊您提出a再用無窮等比級數,比較容易寫出其power series,但a=1提出還是1, 故您的補充說明還是沒針對到問題且我也看不出關連因為 1/(x+1)=1/[(x-a)+(1+a)]<---------這邊確是把分母加a減a不太懂為何這樣做可否麻煩您再次說明,謝謝

更新3:

To Heaven help heart clear: 恩結案前先謝謝您的回答

回答 (1)

天助

2010-06-21 7:49 am

✔ 最佳答案

f'(x)=1/(1+x)=1/[(x-a)+(1+a)]
=1/(1+a)* 1/(t+1) ,where t=(x-a)/(1+a)
=1/(1+a)*Σ[n=0~∞] (-t)^n
=Σ[n=0~∞] [(-1)^n/(1+a)^(n+1)] (x-a)^n
f(x)=Σ[n=0~∞] [(-1)^n/(1+a)^(n+1)] (x-a)^(n+1) / (n+1)
=Σ[n=1~∞] b(n) (x-a)^n, where b(n)=(-1)^(n-1)/[ n (1+a)^n]

(radius of conv.)
-1 < t <= 1, then -1 < (x-a)/(1+a) <= 1
so, the radius of conv=|1+a|

Note: a ≠ -1

2010-06-27 01:37:56 補充：
1,2行的寫法?
因為1/(x+a)=(1/a)/[1+(x/a)]再用無窮等比級數,比較容易寫出其power series
OK!?

2010-06-27 02:26:15 補充：
題目希望對x=a展開,即(x-a)的power series
故將1/(1+x)改為1/[(1+a)+(x-a)]=1/(1+a)* 1/[1+(x-a)/(1+a)]= 1/(1+a)* 1/(1+t)
再改為t之無窮等比級數,即得 (x-a)的power series展開

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