數學二題：有關空間座標的題目

[匿名]

2010-06-21 7:10 am

1.已知正四面體之四頂點在兩歪斜線L1={ x=4+t , y=-3-t , z=0 , t屬於R}, L2={ x=2+s , y=2+s , z=1 , s屬於R} 上，則此正四面體四頂點中在第一卦限者為何？2.空間中三點A(2,2,1)，B(1,3,-1)，C(1,1,-1)，空間中與A，B，C三點等距離的所有點形成圖形為T，則T中與(0,0,0)距離最近的點座標為何？

以上二題，有請大大幫忙指點了…感謝

回答 (1)

天助

2010-06-21 7:39 am

✔ 最佳答案

1.
L1: P(4+t, -3-t, 0), L2: Q(2+s, 2+s, 1)
PQ^2=(2+t-s)^2+(5+s+t)^2+1
=2s^2+2t^2+14t+6s+30
=2(s+1.5)^2+2(t+3.5)^2+1
故(s,t)=(-1.5, -3.5)時, P(0.5, 0.5, 0), Q(0.5, 0.5, 1),兩點距離最近=1
設正四面體邊長2a, 則兩歪斜線距離=√2 a, 故邊長= 2a=√2
四個頂點為:
P點順u1(1,-1,0),左右移動 1/√2距離= (0.5, 0.5, 0) +/- (1/√2)*(1, -1, 0)/√2
=(1, 0, 0), (0, 1, 0)
Q點順u2(1,1,0),左右移動1/√2 距離=(0.5, 0.5, 1) +/- (1/√2)*(1,1,0)/√2
=(1, 1, 1), (0, 0, 1)
Ans: (1,1,1)

Q2:
設 T(x,y,z), 則T在AB之中垂面與AC之中垂面上
AB中垂面: x-y+2z=-1
AC中垂面: x+y+2z=3
聯立得 y=2, z=t, x=1-2t
故T(x,y,z)=(1-2t, 2, t)
與O點距離平方=(1-2t)^2+4+t^2=5t^2-4t+5=5(t - 2/5)^2+...
故t=2/5時最近, 此時點為( 1/5, 2, 2/5)
Ans: (1/5, 2, 2/5), 距離=(3√10)/5

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