二題數學：三角函數及聯立方程

[匿名]

2010-06-20 12:11 am

1.已知sinθ+cosφ=3/5 及cosθ+ sinφ=4/5，求cosθsinφ=?2.已知 abcd=8!且(1)ab+a+b=524 (2)bc+b+c=146 (3)cd+c+d=104，求a-d=?

第2題我算到
(a+1)(b+1)=525
(b+1)(c+1)=147
(c+1)(d+1)=105
後面，我覺得是無解耶~~~~

有請大大指教

回答 (1)

天助

2010-06-20 8:11 am

✔ 最佳答案

Q1:
sinθ+cosφ=3/5, cosφ=3/5 - sinθ
cosθ+sinφ=4/5, sinφ=4/5-cosθ
平方和= 1=2-(6/5)sinθ-(8/5)cosθ
3sinθ+4cosθ= 5/2, sinθ=(5/2 - 4cosθ)/3
1=(cosθ)^2+(5-8cosθ)^2/36, 100(cosθ)^2-80cosθ-11=0, then
5(cosθ)^2-4cosθ= 11/20
所求cosθsinφ=cosθ(4/5-cosθ)=[4cosθ-5(cosθ)^2]/5= -11/100

Q2:(猜想a,b,c,d都是正整數吧!)
(1) (a+1)(b+1)=525=5*105
(2) (b+1)(c+1)=147=3*7^2
(3) (c+1)(d+1)=105
(1)*(3)/(2): (a+1)(d+1)=3*5^3
(1)*(3)=3^2*5^3*7^2=(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)
故a,b,c,d均為偶數, b+1, c+1均為7倍數(不含5), a+1為25倍數, d+1為5倍數
(猜) c=6, b=20, a=24, d=14
so, a-d=10
Note: 沒考慮唯一性,也沒看到另一組解

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