1.設a, b均為大於2的整數，已知(3b-1)/a 和(3a-1)/b 均為整數，求a的所有可能值之和為何？ANS：27
2.設方程式x^3+3x^2+px-q=0 之三根成等差，而方程式x^3+(1-p)x^2-(1+q)x-8=0 之三根成等比，求p^2+q^2=? ANS：10
3.袋中有3個紅球，7個黑球，自袋中隨機取出3個球，一次取一個，取後不放回，求取到紅球個數的期望值? ANS：9/10
4.已知 f：R->R，f(x)=e^x+ax 有反函數，求實數a 的範圍。
5.三、照相機三角架的三隻腳架長度皆為75cm，三隻腳架和地面接觸點為A, B, C，已知AB=50 cm，BC=40 cm，CA=30 cm，求三角架頂點至地面的最短距離為多少cm？
請高手救援
感恩...
高中數學問題探討
2010-06-19 6:19 am
回答 (4)
2010-06-26 7:10 am
✔ 最佳答案
Q1,Q3已回答於其他提問Q2:
x^3+3x^2+px-q=0三根等差, 三根和=-3,故有一根 -1, then 2-p-q=0
x^3+(1-p)x^2-(1+q)x-8=0三根等比,三根積=8,故有一根2, then 2(1-p)-(1+q)=0
so, p=-1, q=3, Ans: p^2+q^2=10
Q4:
f(x)=e^x+ax為連續函數,有反函數,必monotone
f'(x)=e^x+a必恆>=0, so, a>=0
Q5:
三腳架長度皆相同,故照相機O至地面垂足P, P必為地面三角形ABC之外心
又ABC為直角三角形,外心為AB中點
三角形OAB為等腰三角形, so, OPA為直角三角形, OP=50√2 cm
2010-06-20 8:28 pm
為什麼放回不放回期望值是一樣的呢
這個部分不是很清楚....
這個部分不是很清楚....
2010-06-20 4:32 am
第三題是...
一次取一顆取到紅球機率為3/10
取三次
所以期望值
直接*3=9/10
又取後放不放回期望值是一樣的
所以不需考慮
一次取一顆取到紅球機率為3/10
取三次
所以期望值
直接*3=9/10
又取後放不放回期望值是一樣的
所以不需考慮
2010-06-19 7:15 am
2. x^3+3x^2+px-q=0 之三根成等差
設三根為a-d，a，a+d
得3a=-3
a=-1
所以-1+3-p-q=0
x^3+(1-p)x^2-(1+q)x-8=0三根成等比
設三根為b/r，b，br
得b^3=8
b=2
所以8+4(1-p)-2(1+q)-8=0
得到
p+q=2
2p+q=1
P=-1，q=3
所以p^2+q^2=10
2010-06-18 23:16:08 補充：
4.有反函數表示其在R上為一1-1的函數
，意即f’(x)>=0 for all x or f’(x)=<0 for all x
f’(x)=e^x+a
第二種情況不可能，
考慮第一種情形
e^x+a>=0
易知只要a>=0，f’(x)>=0 for all x
故a的範圍為a>=0
5.即垂直距離，頂點投影到地面剛好為ABC的外心
則由三角形面積
abc/4R=600
R=25
由畢氏定理，最短距離為(75^2-25^2)^(1/2)=50√2
設三根為a-d，a，a+d
得3a=-3
a=-1
所以-1+3-p-q=0
x^3+(1-p)x^2-(1+q)x-8=0三根成等比
設三根為b/r，b，br
得b^3=8
b=2
所以8+4(1-p)-2(1+q)-8=0
得到
p+q=2
2p+q=1
P=-1，q=3
所以p^2+q^2=10
2010-06-18 23:16:08 補充：
4.有反函數表示其在R上為一1-1的函數
，意即f’(x)>=0 for all x or f’(x)=<0 for all x
f’(x)=e^x+a
第二種情況不可能，
考慮第一種情形
e^x+a>=0
易知只要a>=0，f’(x)>=0 for all x
故a的範圍為a>=0
5.即垂直距離，頂點投影到地面剛好為ABC的外心
則由三角形面積
abc/4R=600
R=25
由畢氏定理，最短距離為(75^2-25^2)^(1/2)=50√2
收錄日期: 2021-04-30 15:08:09
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