求救數學指對數問題

前面的答案跟我一樣，只不過我也看不懂他怎麼跳的(實力不夠)，我用我的方式寫一遍，如果看不懂可以問
題目:a+1/a+ 3[a^(1/3)+a^(-1/3)]=27
令a^(1/3)+a^(-1/3)=k
則[a^(1/3)+a(-1/3)]^3=k^3=a+a^(-1)+3*a^(2/3)*a^(-1/3)+3*a^(1/3)*a^(-2/3)
(將三次方攤開來，(m+n)^3=m^3+3*n*(m^2)+3*m*(n^2)+n^3)
化簡為a+a(-1)+3*a^(1/3)+3*a^(-1/3)=a+a^(-1)+3[a^(-1/3)+a^(-1/3)]=a+a^(-1)+3k
又k^3=a+a^(-1)+3k
則a+a^(-1)=k^3-3k代回原題目a+1/a+ 3[a^(1/3)+a^(-1/3)]=27
得k^3-3k+3k=27, k^3=27,k=a^(1/3)+a^(-1/3)=3
所以1.a^(1/3)+a^(-1/3)=3
2.而從前面可知a+a^(-1)=k^3-3k，得a+a^(-1)=3^3-3*3=18
3.[a+a(-1)]^2=a^2+a^(-2)+2*(a^1)*(a^(-1))=a^2+a(-2)+2
而a+a^(-1)=18,[a+a(-1)]^2=324=a^2+a^(-2)+2
得a^2+a^(-2)=324-2=322
4.a+a^(-1)=18,兩邊同乘以a
a^2+1=18a,a^2-18a+1=0,得a=[18+8*5^(1/2)]/2或[18-8*5^(1/2)]/2
a=9+4*5^(1/2)或9-4*5^(1/2)

2010-06-14 02:37:46 補充：
天助大大，你怎麼把答案刪掉了，剛剛才看懂從a+1/a+ 3[a^(1/3)+a^(-1/3)]=27 到
[a^(1/3)+a^(-1/3)]^3=27的部分，我用代數法，你竟然可以直接換，比我厲害多了

2010-06-14 11:31:30 補充：
a *X^2 + bX+c=0
X={-b+[(b^2-4ac)]^(1/2)}/2a
b^2-4ac 要開一次根號
公式推導要用完全平方來推，如果你有需要再補充

a+1/a+ 3[a^(1/3)+a^(-1/3)]=27 ----(A)
then [a^(1/3)+a^(-1/3)]^3=27
Q1: a^(1/3)+a^(-1/3)= 3
Q2: Q1代回(A)式, then a+1/a+3*3=27, so a+1/a= 18
Q3: a^2+ 1/a^2=[a+ 1/a]^2 -2= 18^2-2= 322
Q4: a+ 1/a=18, then (a-9)^2=80 thus, a= 9 +/- 4√5