高中數學 排列

(3)
　　全部排列數-甲乙相鄰-丙丁相鄰+(甲乙相鄰且丙丁相鄰)
　＝８！－７！*２－７！*２＋６！*２*２

（甲乙相鄰就把甲乙兩個包在一起想成一個人
　即為７人去隨意排列，但甲乙包在一起位子可以互換，所以*２）

甲,乙,丙,丁,戊,己,庚,辛等8人排成一列,求下列各排列數:
(1) 任意排列.

排列數
= 8P8
= 8!
= 40302


(2)甲,乙不相鄰 .但丙,丁需相鄰.

首先，把丙丁看成一組，連同戊、己、庚、辛四人，四人和一組排成一列。
排列數
= 5P5
= 5!
= 120

丙丁一組可互換位置。
排列數
= 120 x 2
= 240

六人排列後，丙丁 1 組及另外 4 人分別以 5 個 x 表示，把甲、乙分別安插在任何兩個 _ 的空位上，甲、乙兩人便不會相鄰。
_ x _ x _ x _ x _ x _
把甲、乙兩人安插的排列數
= 6P2
= 6!/(6 - 2)!
= 30

總排列數
= 240 x 30
= 7200


(3)甲,乙不相鄰且丙,丁不相鄰

首先把戊、己、庚、辛 4 人排成一列。
排列數
= 4P4
= 4!
= 24

戊、己、庚、辛四人以 x 表示，把丙、丁二人安插在任何 2 個 _ 的空位上，丙、丁便不會相鄰。
_ x _ x _ x _ x _
安插兩、丁 2 人的排列數
= 5P2
= 5!/(5 - 2)!
= 20

丙、丁、戊、己、庚、辛六人以 x 表示，把甲、乙二人安插在任何 2 個 _ 的空位上，甲、乙便不會相鄰。
_ x _ x _ x _ x _ x _ x _
安插甲、乙 2 人的排列數
= 7P2
= 7!/(7 - 2)!
= 42

總排列數
= 24 x 20 x 42
= 40320

(1)
(任意排列的排法數) = 8! = 40320(種)


(2)
先不排甲乙，並讓丙丁相鄰：排法 = 5!*2!
再讓甲、乙插入兩個空位(但不能排在丙、丁中間)：排法 = 6*5
∴(甲,乙不相鄰但丙,丁相鄰的排法數) = (5!*2!)*(6*5) = 7200(種)


(3)
因為
(甲,乙不相鄰且丙,丁不相鄰的排法數)
= (甲,乙不相鄰的排法數) - (甲,乙不相鄰但丙,丁相鄰的排法數)

所以先算
(甲,乙不相鄰的排法數)
= (任意排列的排法數) - (甲,乙相鄰的排法數)
= 8! - 7!*2!
= 8*7! - 2*7!
= 6*7!
= 6*5040
= 30240

所以
(甲,乙不相鄰且丙,丁不相鄰的排法數)

= 30240 - 7200
= 23040(種)