清領時期的台灣布政使司及巡撫

解答此問題前，您必須先瞭解清代的文官制度
清代官名中的頭銜是有玄機的
例如劉銘傳剛來台灣時，他的頭銜是「頭品頂戴賞加巡撫銜督辦台灣軍務」
後來又變成「太子少保頭品頂戴兵部侍郎福建台灣巡撫部院兼管海關學政一等男
」
從這些頭銜中，我們看到劉銘傳的權利已大大增加，已經兼管海關、學政。所謂的兼管，是以上級官管理不相隸屬的下級衙門。在看巡撫這個名稱的同時，其實還得看他那一連長串的頭銜才行！有此認知之後，接下來，重點來囉！

清代的巡撫雖然是重要的行政官員但是他們不是地方的「正印」官，而是具備代天巡狩的欽差性質，所以他們的印信是「關防」，而非正印！簡單講，清代的巡撫沒有他的幕僚單位！反而比較像監察單位！沒啥行政權。因此，在體制上，巡撫得加上「兼銜」或「加銜」才能擁有實際上的行管理權！否則是沒有人甩他的唷！
那麼地方的實際管理權利在哪呢？是的！就是布政使與按察使，布政使管理民政與財政，按察使管理司法，在乾隆13年以前，這兩個才是地方的首長，但即使乾隆以後，巡撫權利漸重，但布政使仍有各自獨立的權責，連總督和巡撫都不能干涉！其官位與巡撫相同都是官居正二品！但是布政使底下反倒擁有幕僚單位（有點像現在縣市長下面的各局處單位）！

所以，你的問題：彼此是何種關係？答：下屬關係！
布政使雖然在體制上是巡撫的下屬（上下關係），
不過在職能與權責上，他比巡撫擁有的更多！他能直接上報到中央單位的吏部（如地方官的考核）、戶部（如戶口）、禮部（如考選）。
不過，值得注意是台灣地區，劉銘傳時代因為建省初期「百廢待舉」，劉銘傳把很多布政使的權利都予以架空，以便獲得更多直接的行政權。此狀況直到邵友廉（即第一任台灣布政使）當任巡撫時才逐步調整回來！
PS.我下面列舉的兩本參考書很有價值，自己看了就懂！

清朝在全國設立了16個巡撫，權力大於今日僅負責行政事務之省長，統籌地方行政、軍事、司法權力。臺灣巡撫設置於1885年，為臺灣建省後的最高地方統治者。而建省後的臺灣省正式名稱亦稱為福建臺灣省，1887年，臺灣巡撫亦更名為福建臺灣巡撫。臺灣巡撫或福建臺灣巡撫總管臺灣軍政。在官職上，臺灣巡撫屬巡撫官銜，品等為正二品。在官餉方面，福建臺灣巡撫年薪約為155兩，養廉銀則達1萬兩，而當時工人差役一年薪餉則約為20至30兩。

布政使，為省行政長官——巡撫的下屬，從二品，只管轄一省行政事務，大致相當於今日之省長。1885年(清光緒11年)，清廷下詔台灣建省，派劉銘傳為首任巡撫。最初台灣並未設置布政使一職，1887年經劉銘傳奏請後才允予設置。首任布政使邵友濂於同年8月到任，於1889年2月卸任。所有布政使除1891年到任的唐景崧任期較長，並於1894年升任台灣巡撫外，其餘任期皆極為短暫。