什麼是代代數？

代數數是滿足整係數代數方程的數。這即是說若 x 是一個代數數，那麼必然存在整數
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令
x是以下方程的根：

不是代數數的複數稱為超越數，例如圓周率。




目錄
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1 例子2 性質3 代數數域4 由根式定義的數5 代數整數6 注釋7 參考文獻



[編輯] 例子
有理數，也就是可以表示為b/a（b和a均為整數且不為零）
的數，滿足以上的定義，因為x = −b/a是方程ax + b = 0的根。[1]有些無理數也是代數數，而有些則不是：
數
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是
代數數，因為它們分別是方程x2 − 2 = 0和x3 − 3 = 0的
根。黃金分割比φ也是代數數，因為它是x2 − x − 1
= 0的根。π和e不是代數數（參見林德曼-魏爾斯特拉斯定理），[2]因
此它們是超越數。
規矩數，也就是可以用直尺和圓規作出的線段的長度，例如2的平方根，都是代數
數。二次無理數，也就是二次方程ax2 + bx + c
= 0的根，是代數數。高斯整數—形如a + bi的數，其中a和b都
是整數，也是代數數。[編輯] 性質
代數數的集合是可數的。[3]因此，代數數集合的勒貝格測度為零（作為複數的一個子集），也就是說，「幾乎所有」的複數都是代數數。給定一個代數數，存在唯一的最低次數的有理係數首一多項式，使得該代數數是該多項式的根。這個多項式稱為極小多項式。如果極小多項式的次數為n，則該代數數稱為n次的。一次的代數數是有理數。所有的代數數都是可計算數，因此是可定義數。[編輯] 代數數域
兩個代數數的和、差、積與商也是代數數，因此代數數構成了一個域，有時記為
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。
每一個係數為代數數的多項式方程的根也是代數數。因此，代數數域是代數封閉域。實際上，它是含有有理數的最小的代數封閉域，因此稱為有理
數的代數閉包。
[編輯] 由根式
定義的數
任何可以從整數通過有限次四則運算和開n次方（其中n是正整數）得到的數都是代數數。然而，反過來不成立：有些
代數數不能用這種方法得出。所有這些代數數都是高於5次的多項式的解。這是伽羅瓦理論的一個結果（參見五次方程和阿貝爾-魯菲尼定理）。一個例子是x5 − x − 1 = 0的唯一的
根（大約為1.167303978261418684256）。
[編輯] 代數整數

主條目：代數整數

代數整數是滿足整係數首一多項式（第一項為1）的根的數。代數整數的例子包括3√2 + 5、6i − 2，以及 (1 + i√3)/2。
兩個代數整數的和、差與積也是代數整數，這就是說，代數整數構成了一個環。代數整數的名稱的由
來，是因為唯一的既是有理數又是代數整數的數是整數，且任何數域中的代數整數與整數有許多相似之處。如果K是一個數域，那麼它的整數環就是K中的代數整數的子環，經常記為OK。
這些是戴德金整環的典型例子。