一題無窮和的題目

設f(x)=sum(n=1~inf) (-1)^n*x^(2n)/[n(2n-1)], f(0)=0, |x|<=1
f'(x)= 2sum(n=1~inf) (-1)^n x^(2n-1)/(2n-1), f'(0)=0, |x|<=1
f"(x)= 2 sum(n=1~inf) (-1)^n x^(2n-2) = -2/(1+x^2), for |x|<1
積分得 f'(x)= -2arctan(x) + c (c=0)
再積分得 f(x)= -2[x arctan(x)- 0.5ln(x^2+1)] + c (c=0)
原級數=f(1)= -2[ pi/4 - 0.5 ln2]= ln2- pi/2

Note:逐項積分與逐項導函數請自行檢驗

2010-05-13 01:23:46 補充：
Linch的風範絕佳

2010-05-13 01:36:37 補充：
To: Linch
我不是大師,差一大級!

2010-05-13 08:00:34 補充：
等兩位大師先上壘再說吧!

天助早晚是知識長級的人物~~~

天助大師快了一步
另一種寫法參考看看

http://i580.photobucket.com/albums/ss244/linch_1/picture-337.jpg

2010-05-13 01:59:57 補充：
您客氣了
知識+上的分級只是一種量上的分級
那種大師的回答有時候還不敢苟同哩
而依您回答的功力
早已是大師級的了
稱呼您大師實在是實至名歸

2010-05-13 10:22:00 補充：
不過我還是喜歡叫人大師
大師比較有質感
知識長感覺差了一截 呵呵

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28-1%29%5En%2F%28n%282n-1%29%29%2Cn%3D1+to+inf

奇偶項拆開

=sigma[2/(4n-1)-1/2n+1/(2n-1)+2/(4n-3)]