球體內接最大立體與球體的體積之比

[1]
設球體半徑為r，內接圓柱之高為2h，底圓半徑為a
則球體體積Ｓ＝(4/3)(π)(r^3)
　圓柱體體積＝(2π)(a^2)h
因為 a^2＋h^2＝r^2
利用算幾不等式　(a^2/2)＋(a^2/2)＋h^2 大於等於 3(三次根號(a^2/2)(a^2/2)h^2）
知，當　a^2＝(2/3)(r^2)，h^2＝(1/3)(r^2) 時，
圓柱體有最大體積Ｗ＝(4/(3根號3))(π)(r^3)
　　Ｓ：Ｗ＝(根號3)：1

[2]
設球體半徑為r，內接圓錐之高為 r+h，底圓半徑為a
則球體體積Ｓ＝(4/3)(π)(r^3)
　圓錐體體積＝(1/3)(π)(a^2)(r+h)
為了讓極值好算，我們換個參數。
因為 a,h,r 恰為直角三角形的三邊，所以再設 a=rsin2θ,h=rcos2θ
又化出圓錐體體積＝(1/3)(π)(r^3) (sin2θ)^2 (1+cos2θ)

(sin2θ)^2．(1+cos2θ)＝(2sinθcosθ)^2．(2cosθcosθ)＝8(sinθ)^2．(cosθ)^4
又 (sinθ)^2 +(cosθ)^2＝1
再由算幾不等式知，當　(sinθ)^2＝1/3，(cosθ)^2＝2/3 時，上式有最大值。
所以內接圓錐之最大體積Ｔ＝(1/3)(π)(r^3)．8(1/3)(4/9)＝(32/81)(π)(r^3)
　　Ｓ：Ｔ＝(4/3)：(32/81)＝27：8

圖畫出來

假設球體內接最大圓柱的高是2X 球體半徑r

那球體內接最大圓柱的底面圓的面積(拍x[r平方-X平方])

得到球體內接最大圓柱的體積函數

對他做一階導函數求出極值

最大值就是球體內接最大圓柱

最大直立圓錐也是假使高

但是他的高是r+x

因此最大直立圓錐的底面圓的面積是(拍x[r平方-X平方])

拍 x [r平方-X平方] x (r+X) x 1/3 是最大直立圓錐的體積函數

一樣做一階導函數求極值

球體體積是4/3拍r三方




2010-05-10 00:35:47 補充：
............

2010-05-10 00:54:52 補充：
球體內接最大圓柱的體積函數V= 拍 x ( r 平方-X平方 ) x 2X

令( r 平方- X 平方 ) x X為G(x)

對他做一階導函數G ' (x) = (-2X) x X + ( r平方-x平方 ) = r 平方-3X平方

令一階導函數為零得到極值

當x= 正負r / (根號3) 負不合

帶入求得體積最大值九分之二根號三拍r三方

最大圓柱跟球體比值= (根號三) 比 六

2010-05-10 00:56:09 補充：
最大直立圓錐作法如上

答案最大直立圓錐比球體 = 8 : 27