一道高一的數學題目

預備公式:(餘弦定理可得)
兩邊長a, b夾角60度形成之平行四邊形,(較長)對角線長^2=a^2+ab+b^2

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AD04686329/o/151005090026513872222840.jpg

如圖,過P作三邊長的平行線DE,FH,GK
設PR=1, PQ=2, PT=3, 由三角形PDR得PD=2/√3=BG
同理AE=PF=4/√3, CH=PK=6/√3
由平行四邊形BDPG: BP^2=(4/√3)^2+(2/√3)^2+(4/√3)(2/√3)=28/3
同理AP^2=(4/√3)^2+(6/√3)^2+(4/√3)(6/√3)=76/3
CP^2=(2/√3)^2+(6/√3)^2+(2/√3)(6/√3)= 52/3
so, AP^2: BP^2: CP^2= 76: 28: 52= 19: 7:13

2010-05-09 22:27:21 補充：
To:hy
以BC為底,ABC面積=12√ 3=(1/2)*4√ 3*(1+AP),6=(1+AP),AP=5
是錯的,因1+AP不是三角形的高!

Q:
P為正三角形ABC內部的一點,若P點分別到三邊BC.AC.AB距離比1:3:2,求AP^2:BP^2:CP^2之值

想好久解不出來(汗

求線上的大大幫我解!!!

越快越好!
Sol:
設正三角形邊長a
ABC面積=APB面積+BPC面積+APC面積
(√ 3/4)a^2=(1/2)*a*2+(1/2)*a*1+(1/2)*a*3
(√ 3/4)a^2=3a,a=4√ 3
故ABC面積=(√ 3/4)a^2=(√ 3/4)*(4√ 3)^2=12√ 3
以BC為底,ABC面積=12√ 3=(1/2)*4√ 3*(1+AP),6=(1+AP),AP=5
AP^2=25#
以AC為底,ABC面積=12√ 3=(1/2)*4√ 3*(3+BP), 6=(3+BP),BP=3
BP^2= 9 #
以AB為底,ABC面積=12√ 3=(1/2)*4√ 3*(2+CP) , 6=(2+CP),CP=4
CP^2=16



2010-05-09 01:58:11 補充：
另解:
算到a=4√ 3都同
利用正三角形都同高H=√ 3/2*a==√ 3/2*(4√3)=6
BC為底 ==>6=(1+AP),AP=5,P^2=25#
AC為底 ==> 6=(3+BP),BP=3,BP^2= 9 #
AB為底 ==> 6=(2+CP),CP=4,CP^2=16 #

2010-05-09 15:33:09 補充：
故題目所要
AP^2:BP^2:CP^2之值=25:9:16

2010-05-09 15:41:55 補充：
To天助心清:
因為你的圖形看不到,可否用文字說明 平行線DE,FH,GK各是平行哪幾邊

2010-05-09 15:53:09 補充：
Sol:(比較好的寫法)
筆誤,要設r,不能用r=1算
邊長1:3:2,設r,3r,2r
設正三角形邊長a
ABC面積=APB面積+BPC面積+APC面積
(√ 3/4)a^2=(1/2)*a*2r+(1/2)*a*r+(1/2)*a*r
(√ 3/4)a^2=3a,a=4√ 3r
正三角形同高H=√ 3/2*a==√ 3/2*(4√3r)=6r
BC底 ==>6r=(1r+AP),AP=5r,P^2=25r^2#
AC底 ==> 6r=(3r+BP),BP=3r,BP^2= 9r^2 #
AB底 ==> 6r=(2r+CP),CP=4r,CP^2=16r^2 #
AP^2:BP^2:CP^2之值=25:9:16

2010-05-09 15:56:43 補充：
(√ 3/4)a^2=3ar,a=4√ 3r

2010-05-09 16:20:36 補充：
To天助心清:
怎麼我們答案會不一樣 真奇怪

2010-05-13 06:24:03 補充：
To:天助心清
謝謝喔,請問你的圖形是怎麼畫的,還有怎麼畫出來的,用頭腦想會loss掉。