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a) 在 PQ 上設一點 S, 從而使得 RS 和 OS 皆垂直於 PQ, 則根據定義, ∠RSO = θ

所以:

PQR 面積 = (RS)(PQ)/2

OPQ 面積 = (OS)(PQ)/2

OPQ 面積/PQR 面積 = OS/RS = cos θ

b) (i) AO = OC = a/√2, 則 AD = DC = a, OD = a/√2

OB = a/√2 (圓半徑)

所以 tan ∠DOB = OD/OB = 1

∠DOB = 45

ii) ∠ABC = 90

∠ACB = 30

OE = OC sin ∠ACB = OC/2 = a/(2√2)

iii) DB2 = OD2 + OB2 = a2

DB = a

所以 DBC 為等腰三角形, 即 DE 垂直於 BC

所以 ∠DEO = α

DE = a/√2

cos α = OE/DE = 1/2

iv) 根據 a 結果:

OBC 面積/DBC 面積 = cos α = 1/2

OBC 面積 = BC x OE/2 = AC sin 60 x a/(2√2) x 1/2 = a2√3/8

即 DBC 面積 = a2√3/4

所以:

(1/2)(DB)(DC) sin ∠BDC = a2√3/4

(a2/2) sin ∠BDC = a2√3/4

sin ∠BDC = √3/2