perfect square 奧數4條，15分！數學高手們進

1).
a)
當 x = 0 , 原式 = c , 因此 c 為平方數即整數。.
當 x = 1 , 原式 = a + b + c = m^2 , m為整數 ......(1)
當 x = - 1 , 原式 = a - b + c = n^2 , n為整數 ......(2)
(1) + (2) :
2a = m^2 + n^2 - 2c 為整數
(1) - (2) :
2b = m^2 - n^2 為整數

b)
當 x = 4 , 原式 = 16a + 4b + c = k^2 , k 為整數,
16a + 4b = k^2 - c , 由於已證 c 為平方數 , 設 c = r^2 , r 為整數 ,
16a + 4b = (k - r)(k + r)
8(2a) + 2(2b) = (k - r)(k + r)
因 (k - r) 與 (k + r) 奇偶性同 , 又左方為 2 的倍數 ,
故 (k - r) 與 (k + r) 同為偶數 , 從而 (k - r)(k + r) 為 4 的倍數。
即 8(2a) + 2(2b) = 4(2(2a) + b) 為 4 的倍數 ,
所以 2(2a) + b 必為整數 , 已證 (2a) 為整數 , 故 b 必為整數。
至此已證原式 ax^2 + bx + c 中 b , c 均為整數 ,
由(1) , a + b + c = m^2
a = m^2 - b - c 亦為整數。

2)
1996^1996
= 4^1996 x 499^1996
4是平方數可取 0 至 1996 個 , 共 1997種
499非平方數可取 0 , 2 , 4 , .... 1996 個 , 共(1996/2)+1 = 999種
(取0種代表4^0 或 499^0 = 1)
平方數因子共 999 x 1997 = 1995003 種

3)
設兩人相隔 31 年 的年齡合併平方數分別為 x^2 及 y^2 ,
由題設知 x + 31 = y 亦為兩位數 ,
故 x^2 - y^2 = 3131
(x - y)(x + y) = 31 x 101
x - y = 31
x + y = 101
兩式相加/減 :
x = 66 , x^2 = 4356
y = 35 , y^2 = 1225
31年前後兩人年齡分別 12 , 25 及 43 , 56 。

4)
因 2 , 3 , 5 互質 ,
除 1 以外 最小合乎數值 = ((2^2)^3)^5 = 2^30 = 1073741824 cents.

2010-05-01 12:35:07 補充：
請見 1a) 第1行已證了。

2010-05-04 01:04:10 補充：
3)爲什麽 x-31=y?????

是弄錯了 ,

「由題設知 x + 31 = y 亦為兩位數 ,」

改為 「由題設知 x^2 的首/末兩位數 - 31 = y^2 的首/末兩位數,」才對。

Sorry!!

2) 1996 = 499 x 2 x 2
1996^1996 = 499^1996 x 2^1996 x 2^1996 = 499^1996 x 2^3992
Powers of 499 can be all even from 0 to 1996 (total = 999) and powers of 2 can be all even from 0 to 3992 (total = 1997).
So no. of perfect squares that can be formed = 999 x 1997

2010-05-01 01:02:58 補充：
3) Let x be the 4-digit values formed by their present age, then 31 years later the 4-digit values will be x + 3131. So by the fact that successive square values are formed by adding successive odd values:
x + 3131 = x + a + (a + 2) + ... + [a + 2(n - 1)]

2010-05-01 01:03:04 補充：
na + n(n - 1) = 3131
n(a + n - 1) = 31 x 101
n = 31, a + n - 1 = 101, giving a = 71

So with a = 71, we have:

x = 1 + 3 + 5 + ... + 69 = 1225
x + 3131 = 4356

which are both perfect squares.

Anne's age = 12, Ben's age = 25

2010-05-01 01:04:45 補充：
4) Since the value is a perfect square, cube and fifth power and is an integer, its smallest possible value is 2^30 since 30 is the LCM of 2, 3 and 5.

Budget = 2^30 = 1073741824 cents