球體表面積既問題

証明球體表面積是4π r^2 并不是一件易事。雖然最早是由阿基米德發現的。但是現在普遍會用微積分去証。若果您對阿基米德的証明有興趣﹐可看參考資料的連結。

如果 y=f(x) 圍住 x-軸 旋轉，所得表面面積為

A = 2π∫(由a到b) y √[1+(dy/dx)^2] dx

若以半圓 y = √[r^2 - x^2], -r <= x <= r 繞 x-軸 旋轉。

dy/dx = -x/√(r^2 - x^2)

A = 2π ∫(由 -r 到 r) y √[1+(dy/dx)^2] dx
= 2π ∫(由 -r 到 r) √[r^2 - x^2] √[1+[-x/√(r^2 - x^2)]^2] dx
= 2π ∫(由 -r 到 r) √[r^2 - x^2] √[1+ x^2/(r^2 - x^2)] dx
= 2π ∫(由 -r 到 r) r dx
= 4π r^2

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