求積分因子與通解

2cosydx-sixdy=0
同乘(1/cosy)*(1/sinx)---(1)
2*(1/sinx)*dx-(1/cosy)dy=0
2*cscx dx-(secy)dy=0
兩邊同時積分
2∫cscx dx-∫(secy)dy=C,C為常數
2ln(cscx - cotx)-ln(secy + tany)=C
ln(cscx - cotx)^2-ln(secy + tany)=C
兩邊同時取e為底的自然對數
e^ln(cscx - cotx)^2-e^ln(secy + tany)=e^C,令e^C=t,t為常數
(cscx - cotx)^2-(secy + tany)=t--->此為通解#
觀念:
積分因子I就是微分過程中所有乘的常數,dx不算,只有乘(1)式
故積分因子I=(1/cosy)*(1/sinx)#

註證明
(1)
∫(secy)dy=∫secy(secy + tany)/((secy + tany))dy--->上下同乘此式是背來的
∫(secy)dy=∫(secy^2+secy*tany)/((secy + tany))dy,
因為 dtany/dy=secy^2,dsecx/dx=secxtanx
所以∫(secy)dy= ∫(1)/ ((secy + tany))d(secy + tany)
∫(secy)dy=ln(secy + tany)+C#

(2)
∫cscx dx=∫cscx(cscx-cotx)/((cscx-cotx))dx--->上下同乘此式是背來的
∫cscx dx=∫(cscx^2-cscx*cotx)/((cscx-cotx))dx,
因為dcotx/dx=-cscx^2,dcscx/dx=-cscx*cotx
所以∫cscx dx=∫(1)/((cscx-cotx)))d(cscx-cotx)
∫cscx dx=ln(cscx-cotx)+C#

2010-04-30 20:21:00 補充：
更正--> 積分因子就是(積分)過程中所有乘的常數,目的為了能將積分積出來
故訪間的積分因子是背的觀念是錯誤的喔

2010-04-30 20:25:44 補充：
(1)
至於ln│cscx - cotx│還是ln(cscx - cotx)
因為工數的ln有複數故ln沒強制要加絕對值喔
(2)
∫(secy)dy和∫cscx dx積分請背起來

不用找積分因子的。因為這條是separable ODE.

2cosy dx - sinx dy = 0

2cosy dx = sinx dy

2S cosecx dx = S secy dy

2ln│cosecx - cotx│ = ln│secy + tany│ + C

(cosecx - cotx)^2/(secy + tany) = A

General solution:

(cosecx - cotx)^2 = A(secy + tany)

A和C是常數