Fermat的問題

Z ^ 打少了 , 是 Z^n 吧。
「整數 X,Y,Z 滿足 X^n + Y^n = Z^n ,
且X,Y,Z三數最大公約數是一。」
為什麼X,Y,Z要兩兩互質?
首先 , X,Y,Z最大公約數 = 1 , 並不保證 X,Y,Z 兩兩互質,
例 3 6 7 的最大公約數 = 1 , 但 3 和 6 有最大公約數 3 ,並不互質。
因此需證明。
要說明為什麼X,Y,Z要兩兩互質,最好從反面看看當X,Y,Z不兩兩互質時,
會導至啥茅盾(反證法)。
於是反設X,Y有最大公約數 e > 1 , 則 X = ep , Y = eq ,
X^n + Y^n = Z^n
(ep)^n + (eq)^n = Z^n
(e^n) (p^n + q^n) = Z^n
p^n + q^n = (Z / e)^n
左方是整數 , 故右方 (Z / e)^n 也是整數,
而只有整數的n次方(n為整數)才為整數,因此 Z / e 是整數,
換言之 e 是 Z 大於 1 的約數 , 故 X Y Z 有公約數 e > 1 ,
與題設條件X,Y,Z三數最大公約是一茅盾。
同理,反設X,Z 或 Y,Z 有最大公約數 e > 1 , 亦可導致茅盾。
因此X,Y,Z要兩兩互質,如果沒有互質會導至茅盾。