狄拉克函數積分的延伸題目（挑戰）

題目本身有問題!
1. 複數的一維積分應是線積分(line integral or curve integral)
題目未指明∫(a + bi to c + di) f(x)δ(x - (p + qi)) dx
遵循什麼路徑(curve)積分,合理猜想是依直線段積分
2. delta function在複數平面上的定義為何?
合理想像是定義在R^2平面上的情形,因此應以面積分(二重積分)為之
定義:由包含點(p,q)的矩形出發(體積=1),漸漸縮小底面積(高度遞增),而得
因此面積分區域包含點(p,q),則積分得1,否則為0
3. 平面上無法依線積分(任意方向)定義delta functin
沒有一個幾何結構,依任意方向線積分結果均為1
故本題沒有意義,毋須討論

Note: 並不是所有一維積分都可以複數討論的!


2010-04-20 23:03:49 補充：
mathematica的δ(x-(p+qi))乃是實數δ(x)的平移,將peak平移至點p+qi,且將實數軸平移至
-inf+qi~ inf+qi,基本上仍是實數參數的運作 x= t+qi, t=-inf~inf
故其積分是∫[-∞+iq~∞+iq] f(x)δ(x-p-qi) dx= f(p) (實數的衍伸)
並非複數的curve integral, 故∫[a+bi~c+di] f(x)δ(x-p-qi) dx沒有意義
勉強形式相同,應該是∫[a+qi~b+qi] f(x)δ(x-p-qi) dx={ f(p) if p in [a, b]
= 0, if p not in [a,b]

到下面的網址看看吧

▶▶http://qaz331.pixnet.net/blog

恕我太遲才告訴你們δ(x - (p + qi))的意思。

其實我是想告訴你們δ(x - (p + qi))的意思是跟隨http://www.wolframalpha.com/input/?i=%CE%B4%28x-%28p%2Bq+i%29%29的內容。

天助心清，你的回答的第2點有否猜中？

2010-04-20 08:16:12 補充：
但是，本題真是無法計算？

實際上，最容易接觸複版狄拉克函數的途徑就是例如計算F{e^(ax)}或計算L^(-1){cos as}的時候。前者的答案如http://www.wolframalpha.com/input/?i=Fourier+transform+e%5E%28ax%29所見就是√(2π)δ(ω - ia)而後者如http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function#Laplace_transform所見就是(δ(t + ia) + δ(t - ia))/2。

2010-04-20 08:22:36 補充：
因此F^(-1){√(2π)δ(ω - ia)}也應要是e^(ax)而L{(δ(t + ia) + δ(t - ia))/2}也應要是cos as。

天助心清，請你再想想。

2010-04-27 09:26:01 補充：
天助心清，幸好我當初故意要你跟隨mathworld版本的δ(x - (p + qi))，否則我永遠不知道mathworld版本的δ(x - (p + qi))原來是這樣取巧的。

那麼，如果∫(a + bi to c + di) f(x) dx是跟隨微積分基本定義（即是F(c + di) - F(a + bi)），δ(x - (p + qi))你的回答的第2點的意思（即是除x = p + qi的時候是+ ∞外，其餘的則為0），那麼本題還可以計算嗎？

同 1樓大大所言，而且 delta fuction 的一個式子:

∫<-∞,∞> f(x)δ(x) dx = f(0) if f(x) is defined at x=0

這個式子是根據 delta sequence 所 "定義" 出來的
並非是算出來的東西
(不少人會以為 δ(0)=∞ or δ(x)=0 if x≠0 是定義，
但正確來說那是定義下的產物之一,且並非和原始定義有等價關係)

所以原 po 你該定義一下 δ(x) 在 x屬於C 下的意思是啥
不然沒有 assumption
怎麼算都是無效的推論

Do you need to clarify what's the meant by δ(x - (p + qi)) , and
∫(a + bi to c + di) [***]dx ? I'm afraid that they are not well-defined when work on complex numbers.