factorization

1) x^3-2x^2+5x-13=0
對一般三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,
令 x = y - b/3a , 化成缺項三次方程 y^3 + py + q = 0 .
令
A = - q/2 + √ [(q/2)^2 + (p/3)^3]
B = - q/2 - √ [(q/2)^2 + (p/3)^3]
w = (- 1 + i√3)/2
w^2 = (- 1 - i√3)/2
則
y1 = A^(1/3) + B^(1/3)
y2 = w A^(1/3) + (w^2) B^(1/3)
y3 = (w^2) (A^1/3) + w B^(1/3)
x^3-2x^2+5x-13=0 , 令 x = y - (-2)/3 :
(y + 2/3)^3 - 2(y + 2/3)^2 + 5(y + 2/3) - 13 = 0
y^3 + 2y^2 + (4/3)y + 8/27 - 2y^2 - (8/3)y - 8/9 + 5y + 10/3 - 13 = 0
y^3 + (11/3)y - 277/27 = 0
27y^3 + 99y - 277 = 0
(3y)^3 + 33(3y) - 277 = 0
A = - (-277)/2 + √[(277/2)^2 + (33/3)^3] = (277 + √82053)/2 = 281.72447
B = - (-277)/2 - √[(277/2)^2 + (33/3)^3] = (277 - √82053)/2 = - 4.72447
(3y)1 = (281.72447)^(1/3) + (- 4.72447)^(1/3) = 4.87757
y1 = 1.62586 ,
x1 = 1.62586 + 2/3 = 2.29252
(3y)2 = w (281.72447)^(1/3) + (w^2)(- 4.72447)^(1/3)
x2 = 2/3 + [w (281.72447)^(1/3) + (w^2)(- 4.72447)^(1/3)]/3
= - 0.14626 + 2.3768 i
由虛根共軛得
x3 = - 0.14626 - 2.3768 i



2)
三次方程 x^3 + px + q = 0 的判別式 :
D = (q/2)^2 + (q/3)^3
當 D = 0 , 三根為實數且其中二根相等。
當 D > 0 , 一實根 , 兩虛根 。
當 D < 0 , 三實根互不相等 。


3)
當根為整數或簡單分數時 , 可用因式定理代些數試試 ,
公開考試為公平起見 , 常把題目設計成含 (x-1)或(x+1)的因式。
但如果像這題無整數根的方程,則要另取辦法,如公式法,或會考的分半方法等。




2010-04-13 17:13:11 補充：
2)

三次方程 x^3 + px + q = 0 的判別式 :

D = (q/2)^2 + (p/3)^3