高中 圓方程

如下圖示:

圖片參考：http://i388.photobucket.com/albums/oo325/loyitak1990/Apr10/Crazycoord1.jpg


設 G 在 (0, k), 並設 C 之半徑為 r, 則:

代入 L2 方程時:

|-4k + 37|/5 = r

(37 - 4k)2 = 25r2 ... (1)

而利用弦與半徑垂直時半徑平分弦的特性於 L1 時可得出:

(|4k + 3|/5)2 + 42 = r2

(4k + 3)2 + 400 = 25r2 ... (2)

將 (1) 和 (2) 解:

(37 - 4k)2 = (4k + 3)2 + 400

1369 - 296k + 16k2 = 16k2 + 24k + 409

320k = 960

k = 3

即 G 在 (0, 3)

25r2 = (37 - 12)2 = 625

r = 5

所以 C 方程為:

x2 + (y - 3)2 = 25

x2 + y2 - 6y - 16 = 0

Let center of circle be G(0,b).
Perpendicular distance from G to line L2 = radius of circle = abs[(- 4b + 37)/5].
Perpendicular distance from G to line L1 = abs[(4b + 3)/5]
Since length of chord = 8, by Pythagoras theorem,
abs[(-4b + 37)/5]^2 = abs[(4b + 3)/5]^2 + (8/2)^2
that is [(- 4b + 37)^2]/25 = [(4b + 3)^2]/25 + 16
solving the equation we get b = 3
so center of circle is (0,3), radius of circle = abs(-12 + 37)/5 = 5.
so equation of circle is x^2 + ( y - 3)^2 = 5^2
x^2 + y^2 - 6y - 16 = 0

圓心 G 在 y 軸上，故設圓心為 (o, b)。

設半徑為 r。
r = 圓心與 L2 的距離
r = ±[3(0) - 4(a) + 37]/5
r = ±(-4a + 37)/5 ...... (1)

以 d 表 G 與 L1 的距離。
d = ±[3(0) + 4(a) + 3]/5
d = ±(4a + 3)/5 ...... (2)

參照圓 C 與割線 L1，割線線段的一半 (8/2)、圓心與割線的距離 (d)、半徑 (d)，三線段形成一個以 r 為斜邊的直角三角形。
根據畢氏定理：
r² = d² + (8/2)²

把 (1) 和 (2) 代入上式：
[±(-4a + 37)/5]² = [±(4a + 3)/5]² + (8/2)²
(-4a + 37)² = (4a + 3)² + (20)²
16a² - 296a + 1369 = 16a² + 24a + 9 + 400
320a = 960
a = 3

(1):
r = ±[-4(3) + 37)/5
r = ±5

C 的方程式：
(x - 0)² + (y - 3)² = (5)²
x² + y² - 6y + 9 = 25
x² + y² - 6y -16 = 0 ...... (答案)