proof of AM-GM

圖片參考：http://i.imagehost.org/0282/1_143.png



「既然ak定佐 咁前面果d數字 a1,a2,a3,a4....a(k-1)咪有佐限制囉 」
答 : 其實不是 ak 限制a1,a2,a3,a4....a(k-1) , 而是先有 a1,a2,a3,a4....a(k-1) ,
才有 ak = [a1 + a2 + a3 + a4 +....+ a(k-1)] / (k-1) ,
ak 才是被動者。
「舉個例四個數字 1,2,3,4 衣四個數字都唔可以組合成為ak果個形式」
答 : 其實沒有不可以的 ,
a1 = 1 , a2 = 2 , a3 = 3 , a4 = 4 , 這裡 k - 1 = 4 , 而 4 = 2既2次 ,
由於已prove佐2既n次成立,所以 1,2,3,4 衣四個數字已經成立 :
(1+2+3+4)/4 >= (1*2*3*4)^(1/4)
又或者這樣解釋 :
由於已prove佐2既n次成立 , 所以2既3次成立 :
(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8) / 8 >= (a1*a2*a*3*a4*a5*a6*a7*a8)^(1/8)
由以上http://i.imagehost.org/0282/1_143.png的倒推法,
可令 a8 = (a1+a2+....+a7)/7 , 推出 7 個數時成立,
繼續推至6再至 5 個數時成立 , 即 :
(a1 + a2 + a3 + a4 + a5) / 5 >= (a1 * a2 * a3 * a4 * a5)^(1/5)......(*)
欲證 (1+2+3+4)/4 >= (1*2*3*4)^(1/4) ,
令 a1 = 1 , a2 = 2 , a3 = 3 , a4 = 4 , a5 = (1+2+3+4)/4 , 代入 (*) 式 :
(1 + 2 + 3 + 4 + (1+2+3+4)/4 ) / 5 >= (1 * 2 * 3 * 4 * (1+2+3+4)/4) ^ (1/5)
[ (5-1)*(1+2+3+4)/4 + (1+2+3+4)/4 ] / 5 >= (1 * 2 * 3 * 4 * (1+2+3+4)/4) ^ (1/5)
(1+2+3+4)/4 >= (1 * 2 * 3 * 4 * (1+2+3+4)/4) ^ (1/5)
[(1+2+3+4)/4]^5 >= (1 * 2 * 3 * 4 * (1+2+3+4)/4)
[(1+2+3+4)/4]^4 >= 1 * 2 * 3 * 4
(1+2+3+4)/4 >= (1 * 2 * 3 * 4) ^ (1/4)
證畢。