✔ 最佳答案
設A為 nxn complex matrix, p(x)=det(xI-A)=(x-a)^k*(x-b)^p*...
其中a, b為A之不同(complex)eigenvalue.則
C^n={(x1,x2,...,xn)| x1~xn in c}依據matrix A可分解為幾個subvectorspace的
direct sum, 每一個subspace即A之一個general eigenvector space,
eg. for eigenvalue a, 相對general eigenvector space V(a)={x | (A-aI)^k (x)=0}
因此C^n= V(a) + V(b) +..., 且V(a),V(b), ...任意兩個space的intersection為{0}
又V(a)為A invariant subspace, 故選擇V(a), V(b), ...每個的任意一組basis,
A依此組basis的新matrix form即得diag(B1, B2, ...} (一個個block的對角矩陣)
Jordan form即為其中一種較簡單的case=diag(J1, J2, ...}
細看J1內部(一個chain)又可能分成多個小block,問題是(1)有幾個小block,
(2)每個小block的size?
其實這兩個問題都很容易:
(1)小block個數=dim ker(A-aI)
因為每個小block 相對恰一個eigenvector
(2)2x2之block個數=dim ker(A-aI)^2 - dim ker(A-aI)
因為每個小block=aI+N (N=(0 1 0 0 0..., 0 0 1 0 0 0, ....))
dim {x | Nx=0} = 1=dim ker(A-aI), dim{x | N^2 x=0} = 2=dim ker(A-aI)^2
因此2x2之block個數=dim ker(A-aI)^2 - dim ker(A-aI)
(3) 3x3之block個數=dim ker(A-aI)^3 - dim ker(A-aI)^2
...依此類推(這即所謂的點圖吧? 我沒學過"點圖"這方法!)
故(1)每個Jordan form都必須求 ker(A-aI), ker(A-aI)^2, der(A-aI)^3, ..的dim數
並依此決定每個Jordan block內部chain的分布情形
(2)找錯chain的分布情形,當然找不到相對eigenvector matrix (P)
(3)點圖的模樣? (不知是啥?)
但可以知道的是 dim ker(A-aI) <= dim ker(A-aI)^2 <= ...
OK!?
2010-04-20 17:22:54 補充：
小更正:(1)總block個數=dim ker(A-aI)
(2)2x2(以上)之block個數=dim ker(A-aI)^2 - dim ker(A-aI)
(3)3x3(以上)之block個數=dim ker(A-aI)^3 - dim ker(A-aI)^2...依此類推
2010-04-20 17:24:30 補充：
k >= 2就要判別chain的分布情形了
k=2: 怎知是1+1 or 2
k=3: 可能1+1+1, or 1+2 or 3
怎能說k >= 4以上才須判別呢?
2010-04-20 17:26:26 補充：
由以上分析(計算dim ker(A-aI)),即可知chain的分布情形,
至於"點圖"這名詞,應是補習班教的解題方法,個人認為沒這個必要!
2010-04-20 17:38:16 補充：
eg.設k=10, a=2
若dim ker(A-2I)=4 ,dim ker(A-2I)^2=6, dim ker(A-2I)^3=8, dim ker(A-2I)^4=9, 則
由dim ker(A-2I)=4知, 共4個小block
由dim ker(A-2I)^2=6知,有6-4=2個 2x2以上的小block
由dim ker(A-2I)^3=8知,有 8-6=2個 3x3以上的小block
由dim ker(A-2I)^4=9知, 有9-8=1個 4x4以上的小block (不用繼續算下去了)
至此即知10=1+1+3+(4以上),故k=1+1+3+5
2010-04-20 17:40:13 補充：
Note:上例中k=10可由det(A-xI)之分解得知!
2010-04-20 23:27:06 補充：
to: J大
"點圖"這名詞,我是第一次聽您說的(在前面B哥那題)!
我是直接觀察dim ker(A-aI)^n (n=1,2,3,..)的數值來分析有幾個小block的
so,跟本不知您的"點圖"所指為何?
2010-04-20 23:30:34 補充：
to: d大
Jordan form的最小block是1x1,不是2x2
2010-04-21 14:56:45 補充：
To: d大
yes! A=2I時, Jordan form 即為(2 0//0 2)
2010-04-21 18:19:28 補充：
因為dim ker (A - λI) = 2, 故有2個小block
dim ker (A - λI)² - dim ker (A - λI) = 0,故沒有2x2(含)以上的小block
故為1+1 (不是直接的2) so, jordan form為 (2 0//0 2)
Note: 若為2, 則jordan form為(2 1//0 2)
