[高中數學] 代數等式

2(A^4+B^4+C^4) - (A^2+B^2+C^2)^2 = 2(2) - 2^2
A^4 + B^4 + C^4 - 2(AB)^2 - 2(BC)^2 - 2(CA)^2 = 0
(A^2 - B^2 - C^2)^2 - 4(BC)^2 = 0
(A^2 - B^2 - C^2 + 2BC) (A^2 - B^2 - C^2 - 2BC) = 0
[A^2 - (B - C)^2] [A^2 - (B + C)^2] = 0
(A + B - C)(A - B + C)(A - B - C)(A + B + C) = 0
A、B、C為非負實數 , (A + B + C) <> 0 ,
(A + B - C)(C + A - B)(A - B - C) = 0
(A + B - C)(C + A - B)(B + C - A) = 0
即(A+B-C)(B+C-A)(C+A-B) = 0

2010-03-24 01:00:54 補充：
更正補充 :

A、B、C為非負實數 , (A + B + C) >= 0 , 當 A + B + C = 0 ,

A = B = C = 0 , (A+B-C)(B+C-A)(C+A-B) = 0

2010-03-24 03:02:28 補充：
其實這個題目用代數解決也很簡單 ,

不過想不到這個題目有幾何意義存在。

可以說說嗎?

易知正三角形LMN外接圓上的動點P到三點之距離PL、PM、PN任意兩者和為

第三者。令A = √x => √(2x) = √[4-2(y+z)] = √[x^2+(y-1)^2+(z-1)^2]。

而題目的兩個條件分別代表一球面與一平面，兩者交集為一圓。

L(1,1,0)、M(0,1,1)、N(1,0,1)在此圓上且構成一正三角形。

令P=(x,y,z) 及第二行等式可知題目成立。

(後來想想正三角形的這個性質也可以由面積推出，所以與代數方法其實是等價

的)

本題也可用根與係數先製作以A,B,C為三根的方程式,再證 (A+B+C)/2亦為其根即可!

對於幾何意義，我估計如下：

因為題目的乘積其實是Heron's Formula計算三角形面積的公式的形式，
而這題的結果代表三角形退化為一直線的特殊情況，
故這題可以理解為，不存在一個非退化三角形，使得三邊長符合題目的條件。

2010-03-24 08:44:03 補充：
若以A,B,C為長,闊,高的長方體的對角線長，
跟以A^2,B^2,C^2為長,闊,高的長方體的對角線長相等，

則以A,B,C為三邊的三角形必為退化三角形。

2010-03-25 01:55:12 補充：
設 P = A^2 + B^2 + C^2, Q = A^4 + B^4 + C^4

則由Heron公式，有
Δ = √[s(s-A)(s-B)(s-C)]
= 1/4 √[P^2 - 2Q]

現因 P=Q=2，所以 P^2 - 2Q = 0
即Δ=0，故這三角形為退化三角形。

因退化三角形即為一直線，三角形三頂點共線，
於是可得題目的等式。