2題若x、y為整數，則滿足方程式(x-y)^2+2y

第一題
用窮舉法可知道
(x-y)^2+2y^2=27
3^2+2*3^2=27和5^2+2*1^2=27
所以加上正負號
(x,y)=(6,1)(-4,1)(4,-1)(-6,-1)(6,3)(0,3)(0,-3)(-6,-3)
x只有5組解:6,4,0,-4,-6

第二題
AB=BC=1 可以知道很多事
AC=sqrt(2) BM=MC=1/2 AM=sqrt(5)/2
則考慮三角形AMD和三角形CMD中的MD
設CD=x 則AD=sqrt(2)-x
MD^2=[sqrt(2)-x]^2-[sqrt(5)/2]^2=x^2+(1/2)^2-2x(1/2)cosDCM
已知角DCM=角ACB 所以cos和sin都是1/sqrt(2)
將上是整理後可得到x=1/5sqrt(2)
三角形CMD的面積=(1/2)*(1/2)*[1/5sqrt(2)]*1/sqrt(2)=1/40

2010-03-22 13:09:12 補充：
小小算錯一個地方
x=1/3sqrt(2)
所以最後面積是1/24

因x、y為整數 , 所以 (x - y)^2 及 2y^2 為0 至 27 間的整數 ,
又 2y^2 為偶數 , 因此(x - y)^2為奇數(因和為奇數27) ,
當(x - y)^2 = 1 , 2y^2 = 26 , y無整數解 ;
當(x - y)^2 = 3^2 = 9 , x - y = +/- 3....(1)
2y^2 = 18 , y = +/- 3....(2)
解(1) , (2) :
當 x - y = 3 , y = 3 , x = 6
當 x - y = 3 , y = - 3 , x = 0
當 x - y = - 3 , y = 3 , x = 0
當 x - y = - 3 , y = - 3 , x = - 6 ; x 有三解
當(x - y)^2 = 5^2 = 25 , x - y = +/- 5....(3)
2y^2 = 2 , y = +/- 1....(4)
解(3) , (4) :
當 x - y = 5 , y = 1 , x = 6
當 x - y = 5 , y = - 1 , x = 4
當 x - y = - 5 , y = 1 , x = - 4
當 x - y = - 5 , y = - 1 , x = - 6; x 有四解
綜上 x 有 7 個解。





設 DN // AB, 則

△DMN ~ △MAB

因 AB = 2 MB ,

得 MN = 2 DH ,

又 CN = DH ,

即 MN = 2CN ,

所以 MN + CN = 3CN = 1/2

CN = 1/6 ,

MN = 2*1/6 = 1/3

△DMC

= (1/2) (MN + CN) (DN)

= (1/2) (1/3 + 1/6) (1/6)

= 1/24

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA04628698/o/101003220208513869490410.jpg


2010-03-22 13:16:12 補充：
對不起,x應是有5個解, 0 , -4 , 4 , 6 , - 6, 不記得扣重複。

大大是哪8種~請您解來看看可以嗎

x應有8組解

2010-03-22 14:21:21 補充：
就是熊仔的8種解 , 只不過重複字要扣除而已......呵呵