國中三年級數學

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AD04686329/o/151003190154013872248150.jpg

圖中紅字表線段長度,BE=9, BG=6, AD=12, AG=8, CF=15, CG=10
四邊形AHCG為平行四邊形(對角線平分),so, AH=CG=10
三角形AGH為直角三角形(3邊長 6, 8, 10)
so, AE^2=8^2+3^2=73
thus, AC=2√73

2010-03-19 11:55:35 補充：
Sorry to 香港朋友EMK
台灣國中生還沒學到一般三角形,由三邊長求中線的方法

國中解法:
先作圖, 三角形AB, 相對應中線9cm,12cm,15cm, 重心M, BC中點D
再將9cm的中線延長3cm (即1/3中線)得到端點E, 再由E到三角形的頂點B
即可得到一直角三角形BME(因為邊長為6cm, 8cm, 10cm)
三角形BMD亦為直角三角形, 角BMD為直角
所以BD長為 根號(8^2+3^2)=根號73
BC=2BD=2根號73
所以答: 2根號73

高中運用三角函數解法:
(我不建議把這種中線求法當作公式)
作圖之後
令BD=X, 角MDB=S, (角MDC和角MDB互補)
由餘弦定理
三角形BMD中 8^2=X^2+3^2-2X*3cosS ----(1)
三角形CMD中 10^2=X^2+3^2+2X*3cosS ----(2) (角MDC和角MDB互補)
由(1)(2) 得8^2+10^2=2X^2+3^2+3^2
所以 X=根號73
BC=2BD=2根號73
所以答: 2根號73

2010-03-19 19:25:25 補充：
這題的目的只是讓國中生熟悉畢氏定理
兩個邊的平方相加, 等於另一邊平方, 則此三角形為直角三角形
8^+6^2=10^2

背公式會扼殺思考能力
不論定理或公式, 能自己導最重要, 才更能靈活運用

2010-03-19 19:26:34 補充：
剛剛打錯了
8^2+6^2=10^2

樓上大師
你誤會了~

這種題目在國中舊教材一定要會的~(me認為)
現國中也放進來練習吧!

天助大算標準作法(有的用全等三角形作法)
克兄倒是不同解法(頭一次看到~)
香港朋友中線公式也妙~(國中到高中也要會的~)

.......

目的:請不要刪,造福後瀏覽~

2010-03-19 16:53:21 補充：
呵呵~

這題是有數字有設計喔!

"公式"
若成解決方式
有何不可~

^_^

如果要代公式，直接代 3中線求對邊 公式就好了，不需要代 3對邊求中線 公式
a = 2/3*√[2(m_b ^2 + m_c^2) - m_a ^2] = 2/3*√[2(12^2 + 15^2) - 9 ^2]=2√73

2010-03-19 16:43:25 補充：
http://tw.myblog.yahoo.com/jw!wJsvzX2fGRz_7J5nY89_Rhbt/photo?pid=14

這題不要想太多唷，國中的題目盡量不要用公式

2010-03-19 16:45:21 補充：
國中的題目著重的是思考，不要讓公式阻礙了思考能力!

2010-03-19 17:06:09 補充：
恩~ 公式是很好用沒錯啦，我自己也學了不少，也自己找了很多公式
連物理 化學 都自己找了好多公式
只是我不太喜歡這樣，畢竟"理"是很有趣的，我不想讓公式破壞了樂趣~。

2010-03-19 17:10:17 補充：
這題如果要算面積會比較有趣，因為知 3中線求面積公式比較少人知道
用 3中線求面積公式 也很慢，可是只要把圖做出來，就知道面積=(6*8/2)*3=72
這樣題目鑑別度會很不錯

圖片參考：http://link.photo.pchome.com.tw/s12/cloudyma/19/126896892516/

利用重心性質與海龍公式。
如上圖，
M為AB中點，設AM=BM=x，G為三中線交點(重心)，
則AG=12*(2/3)=8，BG=15*(2/3)=10，MG=9*(1/3)=3。
△AMG面積=△BMG面積
√[-(x+11)/2 *(x-11)/2 *(x+5)/2 *(x-5)/2]=√[-(x+13)/2 *(x-13)/2 *(x+7)/2 *(x-7)/2]
→-(x+11)/2 *(x-11)/2 *(x+5)/2 *(x-5)/2=-(x+13)/2 *(x-13)/2 *(x+7)/2 *(x-7)/2
→(x+11)(x-11) * (x+5)(x-5)=(x+13)(x-13) * (x+7)(x-7)
→(x^2-121)(x^2-25)=(x^2-169)(x^2-49)
→令x^2=k，乘開得k^2-146k+3025=k^2-218k+8281
→72k=5256
→k=73
所以x=-√73(不合)或√73
AB=2x=2√73(cm)

2010-03-19 23:47:08 補充：
也是可以代回去算總面積，不會多費很多工
6*√(-(x^2-121)(x^2-25)/16)=6*√(-(73-121)(73-25)/16)=6*√(-(-48)(48)/16)=6*12=72

設a,b,c分別為三角形三邊，m_a, m_b, m_c為對應三條中線。

已知m_a=9, m_b=12, m_c=15 (cm略去)

由計算中線的公式，有
m_a = 1/2*√[2b^2 + 2c^2 - a^2] = 9
m_b = 1/2*√[2a^2 + 2c^2 - b^2] = 12
m_c = 1/2*√[2a^2 + 2b^2 - c^2] = 15

√[2b^2 + 2c^2 - a^2] = 18
√[2a^2 + 2c^2 - b^2] = 24
√[2a^2 + 2b^2 - c^2] = 30

2b^2 + 2c^2 - a^2 = 324 ... (1)
2a^2 + 2c^2 - b^2 = 576 ... (2)
2a^2 + 2b^2 - c^2 = 900 ... (3)

(1)+(2)+(3): a^2 + b^2 + c^2 = (324+576+900)/3 = 600 ... (4)

2(4) - (1): a^2 = 292
2(4) - (2): b^2 = 208
2(4) - (3): c^2 = 100

Answer: a = 2√73 (cm), b = 4√13 (cm), c = 10 (cm)

對於這題的答案，應為 2√73 (cm)。

2010-03-19 11:41:57 補充：
對於中線長公式，可參考
http://en.wikipedia.org/wiki/Median_%28geometry%29

國中出這種題目, 實在有夠夭壽.